Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 11

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Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo den Rest besitzen.


Aufgabe *

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo den Rest besitzen.


Aufgabe (6 Punkte)

Von wie vielen Zahlen ist „durchschnittlich“ die Zahl der kleinste Primteiler? Erläutere dabei, warum diese Frage durchaus einen Sinn macht. Beschreibe alle Zahlen, deren kleinster Primteiler ist (begründe!).

Beantworte die entsprechenden Fragen für eine beliebige Primzahl. Bis zu welcher Primzahl muss man gehen, damit durchschnittlich mindestens (oder oder ) aller Zahlen einen Primteiler besitzen.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine reelle Zahl. Zeige, dass die Anzahl

unbeschränkt ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne den Wert der Reihe


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das unendliche Produkt


Aufgabe (3 Punkte)

Begründen Sie die Einzelschritte im Beweis zum Lemma über die Produktdarstellung, in dem Sie den Beweis in Ihre Benutzerseite kopieren und die Gründe in die vorgesehenen Fenster eintragen.


Die folgenden Aufgaben haben nicht direkt mit der elften Vorlesung zu tun, sondern wiederholen ältere Situationen. Man kann sich auch an den liegengelassenen und sitzengebliebenen Aufgaben gerne noch einmal probieren.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Zerlegung von in irreduzible Polynome im Polynomring . Beweise aus dieser Zerlegung den Satz von Wilson.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine Primzahl mit . Zeige unter Verwendung des Satzes von Wilson, dass eine Quadratwurzel von ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Primzahl mit und sei eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten, . Sei ein ungerader Teiler von . Dann ist ein Quadratrest modulo .


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine natürliche Zahl, die modulo den Rest besitzt. Zeige, dass nicht als Summe von drei Quadraten darstellbar ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Beschreibe die nilpotenten Elemente von und die Reduktion von .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. In der Primfaktorzerlegung von kommt jeder Primfaktor mit Exponent vor.
  2. Der Restklassenring ist reduziert.
  3. Der Restklassenring ist das Produkt von Körpern.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge der nilpotenten Elemente in ein Ideal bilden (dieses nennt man das Nilradikal von .

Zeige ferner, dass zu einem nilpotenten Element das Element eine Einheit ist.

Bestimme in die nilpotenten Elemente und zeige, dass die Zuordnung ein Gruppenisomorphismus zwischen dem Ideal der nilpotenten Elementen und einer gewissen Untergruppe der Einheitengruppe ist.

Beschreibe die Einheitengruppe als direktes Produkt von mit einer weiteren Untergruppe.