Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Liegengelassene Aufgaben

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Dies sind die liegengelassenen und sitzengebliebenen Aufgaben. Sie sind einen ersten oder zweiten Versuch wert und können nachgereicht werden.


Aufgabe 2.7 (6 Punkte)

Sei ein Integritätsbereich. Betrachte die beiden folgenden Bedingungen:

(1) Es gibt ein Primelement mit der Eigenschaft, dass sich jedes Element , , eindeutig als darstellen lässt mit einer Einheit und .

(2) ist ein euklidischer Bereich mit einer surjektiven euklidischen Funktion , die zusätzlich die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt.

a) Es gilt für alle .


b) Es gilt genau dann, wenn für alle . Zeige, dass beide Bedingungen äquivalent sind. Können Sie Beispiele für solche Ringe angeben?


Aufgabe 3.6 (4+ Punkte)

Die Beschreibungsseite des folgenden Bildes behauptet, etwas mit dem euklidischen Algorithmus zu tun zu haben. Erläutere dies. Welche Eigenschaften des euklidischen Algorithmus sind in dem Bild sichtbar? Beweise diese Eigenschaften des Algorithmus.

Euclidean algorithm running time X Y.png


Aufgabe 4.8 (4 Punkte)

Sei eine Primzahl und sei ein Polynom mit Koeffizienten in vom Grad . Zeige, dass es ein Polynom mit einem Grad derart gibt, dass für alle Elemente die Gleichheit

gilt.


Aufgabe 5.10 (4 Punkte)

Sei eine natürliche Zahl. Charakterisiere diejenigen Teiler von mit der Eigenschaft, dass für den kanonischen Ringhomomorphismus

gilt, dass in genau dann eine Einheit ist, wenn in eine Einheit ist.


Aufgabe 5.12 (3 Punkte)

Es sei . Betrachte die beiden Unterringe

der komplexen Zahlen ( ist also der Ring der Eisensteinzahlen). Finde ein Beispiel von zwei Elementen in , die in nicht assoziiert sind, wohl aber in . Man gebe daran anschließend ein Beispiel eines irreduziblen Elementes in , das nicht prim ist (in ). Ist es prim in ?


Aufgabe 5.13 (160 Punkte)

Für positive ganze Zahlen betrachten wir folgenden Algorithmus.

Wenn gerade ist, so ersetze durch die Hälfte.
Wenn ungerade ist, so multipliziere mit und addiere dann dazu.

Frage (Collatz-Problem): Ist es wahr, dass man bei jeder Startzahl früher oder später bei landet?


Aufgabe 6.5 (7 Punkte)

a) Es sei ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.


Aufgabe 6.6 (3 Punkte)

Sei eine Primzahl und . Zeige, dass das Potenzieren

genau dann eine Bijektion ist, wenn und teilerfremd sind.


Aufgabe 8.7 (4 Punkte)

Zeige, dass im Restklassenring die Äquivalenz gilt, dass zwei Elemente genau dann assoziiert sind, wenn ist.

Finde eine Charakterisierung für diese Äquivalenzrelation, die auf den Primfaktorzerlegungen von und aufbaut.


Die folgende Aufgabe setzt eine gewisse Routine im Umgang mit kommutativen Ringen voraus.

Aufgabe 8.8 (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei Elementen und eines kommutativen Ringes derart, dass ist, dass aber und nicht assoziiert sind.


Aufgabe 8.11 (3 Punkte)

Betrachte die Menge der positiven geraden Zahlen zusammen mit . Zeige, dass ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von . Zeige, dass in jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in gilt.


Aufgabe 11.8 (3 Punkte)

Bestimme die Zerlegung von in irreduzible Polynome im Polynomring . Beweise aus dieser Zerlegung den Satz von Wilson.


Aufgabe 11.10 (3 Punkte)

Sei eine Primzahl mit und sei eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten, . Sei ein ungerader Teiler von . Dann ist ein Quadratrest modulo .


Aufgabe 11.12 (4 Punkte)

Beschreibe die nilpotenten Elemente von und die Reduktion von .


Aufgabe 11.14 (6 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge der nilpotenten Elemente in ein Ideal bilden (dieses nennt man das Nilradikal von .

Zeige ferner, dass zu einem nilpotenten Element das Element eine Einheit ist.

Bestimme in die nilpotenten Elemente und zeige, dass die Zuordnung ein Gruppenisomorphismus zwischen dem Ideal der nilpotenten Elementen und einer gewissen Untergruppe der Einheitengruppe ist.

Beschreibe die Einheitengruppe als direktes Produkt von mit einer weiteren Untergruppe.


Aufgabe 12.8 (2 Punkte)

Betrachte die Quadratrestgruppe

wobei die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse einen Repräsentanten aus gibt.


Aufgabe 12.8 (3 Punkte)

Finde die kleinste Primzahl derart, dass es in ein Element gibt, das weder primitiv noch ein Quadrat noch gleich ist.


Aufgabe 15.6 (2 Punkte)

Sei ein endlicher Körper und eine endliche Körpererweiterung. Zeige direkt, dass für diese Körpererweiterung der Satz vom primitiven Element gilt.


Aufgabe 15.7 (4 Punkte)

Sei ein Körper und sei ein Polynom vom Grad . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

  1. und die (formale) Ableitung sind teilerfremd.
  2. und die (formale) Ableitung erzeugen das Einheitsideal.
  3. besitzt in keinem Erweiterungskörper mehrfache Nullstellen.
  4. Es gibt einen Erweiterungskörper , so dass als Polynom in in verschiedene Linearfaktoren zerfällt.


Aufgabe 15.8 (3 Punkte)

Sei ein Körper und sei ein irreduzibles Polynom. Man gebe eine einfache Charakterisierung dafür, dass separabel ist.

Zeige, dass in Charakteristik null jedes irreduzible Polynom separabel ist.

Man gebe ein Beispiel, dass das in positiver Charakteristik nicht immer stimmen muss.


Aufgabe 16.3 (3 Punkte)

Sei eine kommutative Gruppe. Sei

die Menge der Gruppenhomomorphismen von nach (also die Gruppenendomorphismen auf ). Definiere auf eine Addition und eine Multiplikation, so dass zu einem (in der Regel nicht kommutativen) Ring wird.


Aufgabe 16.4 (3 Punkte)

Sei eine kommutative Gruppe und sei der zugehörige Endomorphismenring. Sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass eine -Modulstruktur auf äquivalent ist zu einem Ringhomomorphismus .


Aufgabe 16.5 (3 Punkte)

Betrachte die rationalen Zahlen als kommutative Gruppe. Zeige, dass sie nicht endlich erzeugt ist.


Aufgabe 16.9 (3 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal in . Zeige: ist genau dann ein maximales Ideal, wenn es zu jedem , , ein und ein gibt mit .


Aufgabe 16.10 (3 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring . Zeige, dass die Ideale von eindeutig denjenigen Idealen von entsprechen, die umfassen.


Aufgabe 16.11 (2 Punkte)

Zeige, dass jeder Restklassenring eines Hauptidealringes wieder ein Hauptidealring ist. Man gebe ein Beispiel, dass ein Restklassenring eines Hauptidealbereiches kein Hauptidealbereich sein muss.


Aufgabe 17.1 (4 Punkte)

Zeige, dass für natürliche Zahlen und die Zahl nicht ein Teiler von ist.


Aufgabe 17.3 (5 Punkte)

Seien kommutative Ringe und seien und Ringhomomorphismen derart, dass ganz über und ganz über ist. Zeige, dass dann auch ganz über ist.


Aufgabe 17.5 (2 Punkte)

Sei ein Integritätsbereich. Sei angenommen, dass die Normalisierung von gleich dem Quotientenkörper ist. Zeige, dass dann selbst schon ein Körper ist.


Aufgabe 17.8 (5 Punkte)

Sei ein normaler Integritätsbereich und . Es sei vorausgesetzt, dass keine Quadratwurzel in besitzt. Zeige, dass das Polynom prim in ist. Tipp: Verwende den Quotientenkörper . Warnung: Prim muss hier nicht zu irreduzibel äquivalent sein.


Aufgabe 17.9 (5 Punkte)

Sei ein Körper und betrachte den Restklassenring

Dies ist ein Integritätsbereich nach Aufgabe *****. Zeige, dass die Normalisierung von gleich dem Polynomring ist. Skizziere die Nullstellenmenge von in der reellen Ebene und finde eine Parametrisierung dieses Gebildes.


Aufgabe 18.4 (2 Punkte)

Es sei ein normaler Integritätsbereich und eine ganze Ringerweiterung. Sei . Zeige, dass für das von erzeugte Hauptideal gilt:


Aufgabe 18.6 (5 Punkte)

Es sei eine Primzahl. Betrachte die endliche Körpererweiterung

vom Grad . Sei ein Element davon mit . Berechne das Minimalpolynom von und man gebe die Koeffizienten davon explizit an. Bestimme insbesondere die Norm und die Spur von .

Welche Bedingungen an ergeben sich aus der Voraussetzung, dass ganz über ist?


Aufgabe 18.8 (4 Punkte)

Sei ein Dedekindbereich und seien und zwei verschiedene Primideale. Dann ist


Aufgabe 18.9 (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Dedekindbereich, wo jeder Restklassenring unendlich ist, und für einen Dedekindbereich, der einen Körper enthält und wo alle echten Restklassenringe endlich sind.


Aufgabe 19.2 (2 Punkte)

Sei ein Zahlbereich und sei eine -Basis von . Zeige, dass dann der Betrag der Diskriminante

minimal ist unter allen Diskriminanten von linear unabhängigen -Tupeln aus .


Aufgabe 19.3 (3 Punkte)

Sei ein Zahlbereich und sei eine -Basis von mit Diskriminante

Es sei . Zeige, dass eine -Basis des Hauptideals bildet und dass gilt:


Aufgabe 19.5 (3 Punkte)

Finde möglichst viele (nicht isomorphe) kommutative Ringe mit vier Elementen. Beweise, dass die Liste vollständig ist.


Aufgabe 19.9 (4 Punkte)

Es sei eine Primzahl und . Zeige: ist genau dann ein Unterkörper von , wenn ein Vielfaches von ist.


Aufgabe 19.10 (5 Punkte)

Sei ein Körper und eine Ringerweiterung vom Grad drei. Klassifiziere die möglichen Typen von , ähnlich wie in Lemma 19.9.


Aufgabe 20.2 (2 Punkte)

Sei eine echte Primzahlpotenz und der zugehörige endliche Körper. Zeige, dass in jedes Element aus ein Quadrat ist.


Aufgabe 20.3 (2 Punkte)

Bestimme den (Isomorphietyp des) Ganzheitsringes der quadratischen Körpererweiterung


Aufgabe 20.4 (5 Punkte)

Sei eine quadratfreie Zahl und betrachte die quadratische Erweiterung . Es sei ein Primfaktor von und es sei vorausgesetzt, dass weder noch ein Quadratrest modulo ist. Dann ist irreduzibel in , aber nicht prim.


Aufgabe 20.7 (2 Punkte)

Finde ein quadratfreies derart, dass die natürliche Inklusion

die Eigenschaft besitzt, dass es zwei verschiedene Primideale und in gibt, die beide über dem gleichen Primideal liegen. Was ist ?


Aufgabe 20.8 (2 Punkte)

Bestimme für die quadratischen Zahlbereiche mit negativem sämtliche Einheiten.


Aufgabe 21.1 (3 Punkte)

Sei eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen . Zeige, dass entweder mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl ist, oder aber dicht in ist.


Aufgabe 21.2 (2 Punkte)

Sei eine Primzahl und betrachte die quadratische Erweiterung . Zeige, dass dies eine dichte Untergruppe der reellen Zahlen ist.


Aufgabe 21.6 (2 Punkte)

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Zeige, dass das Ideal ein Hauptideal ist und gebe einen Erzeuger an.


Aufgabe 21.7 (3 Punkte)

Sei ein Zahlbereich. Zeige unter Verwendung der Norm, dass jedes Element , , eine Faktorisierung in irreduzible Elemente besitzt.


Aufgabe 21.11 (6 Punkte)

Eine (Fußball-)Spielgruppe bei einer Europa- oder Weltmeisterschaft besteht aus vier Mannschaften, und jede spielt gegen jede. Ein Spiel kann unentschieden oder mit einem Sieg für eine der beiden Mannschaften enden. Wir interessieren uns für die diskrete Struktur einer Spielgruppe, die man durch einen gerichteten Graphen beschreiben kann, wobei man einen Sieg von über durch einen Pfeil von nach (und ein Unentschieden durch keine Verbindung) ausdrücken kann.

Definiere einen Isomorphiebegriff für Spielgruppen und klassifiziere die Spielgruppen entlang geeigneter numerischer Invarianten. Wie viele Spielgruppen gibt es? Aus welchen Isomorphietypen lässt sich die Tabellenordnung ableiten, aus welchen nicht?