Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Liegengelassene Aufgaben

Dies sind die liegengelassenen und sitzengebliebenen Aufgaben. Sie sind einen ersten oder zweiten Versuch wert und können nachgereicht werden.

Aufgabe 2.7 (6 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Betrachte die beiden folgenden Bedingungen:

(1) Es gibt ein Primelement ${}p\in R$ mit der Eigenschaft, dass sich jedes Element ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, eindeutig als ${}f=up^{i}$ darstellen lässt mit einer Einheit ${}u$ und ${}i\in \mathbb {N}$.

(2) ${}R$ ist ein euklidischer Bereich mit einer surjektiven euklidischen Funktion ${}\delta :R\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N}$, die zusätzlich die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt.

a) Es gilt ${}\delta (fg)=\delta (f)+\delta (g)$ für alle ${}f,g\in R\setminus \{0\}$.

b) Es gilt ${}f{|}g$ genau dann, wenn ${}\delta (f)\leq \delta (g)$ für alle ${}f,g\in R\setminus \{0\}$. Zeige, dass beide Bedingungen äquivalent sind. Können Sie Beispiele für solche Ringe angeben?

Aufgabe 3.6 (4+ Punkte)

Die Beschreibungsseite des folgenden Bildes behauptet, etwas mit dem euklidischen Algorithmus zu tun zu haben. Erläutere dies. Welche Eigenschaften des euklidischen Algorithmus sind in dem Bild sichtbar? Beweise diese Eigenschaften des Algorithmus.

Aufgabe 4.8 (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}f(x)$ ein Polynom mit Koeffizienten in ${}\mathbb {Z} /(p)$ vom Grad ${}d\geq p$. Zeige, dass es ein Polynom ${}g(x)$ mit einem Grad ${}<p$ derart gibt, dass für alle Elemente ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$ die Gleichheit

${}f(a)=g(a)\,$

gilt.

Aufgabe 5.10 (4 Punkte)

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Charakterisiere diejenigen Teiler ${}k$ von ${}n$ mit der Eigenschaft, dass für den kanonischen Ringhomomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k)$

gilt, dass ${}a$ in ${}\mathbb {Z} /(n)$ genau dann eine Einheit ist, wenn ${}\varphi (a)$ in ${}\mathbb {Z} /(k)$ eine Einheit ist.

Aufgabe 5.12 (3 Punkte)

Es sei ${}\omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$. Betrachte die beiden Unterringe

${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]\subset \mathbb {Z} [\omega ]=S\,$

der komplexen Zahlen (${}S$ ist also der Ring der Eisensteinzahlen). Finde ein Beispiel von zwei Elementen in ${}R$, die in ${}R$ nicht assoziiert sind, wohl aber in ${}S$. Man gebe daran anschließend ein Beispiel eines irreduziblen Elementes in ${}R$, das nicht prim ist (in ${}R$). Ist es prim in ${}S$?

Aufgabe 5.13 (160 Punkte)

Für positive ganze Zahlen ${}n$ betrachten wir folgenden Algorithmus.

Wenn ${}n$ gerade ist, so ersetze ${}n$ durch die Hälfte.

Wenn ${}n$ ungerade ist, so multipliziere ${}n$ mit ${}3$ und addiere dann ${}1$ dazu.

Frage (Collatz-Problem): Ist es wahr, dass man bei jeder Startzahl ${}n$ früher oder später bei ${}1$ landet?

Aufgabe 6.5 (7 Punkte)

a) Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}K$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}R$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

Aufgabe 6.6 (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}e\in \mathbb {N}$. Zeige, dass das Potenzieren

${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },\,x\longmapsto x^{e},$

genau dann eine Bijektion ist, wenn ${}e$ und ${}p-1$ teilerfremd sind.

Aufgabe 8.7 (4 Punkte)

Zeige, dass im Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(n)$ die Äquivalenz gilt, dass zwei Elemente ${}a,b$ genau dann assoziiert sind, wenn ${}(a)=(b)$ ist.

Finde eine Charakterisierung für diese Äquivalenzrelation, die auf den Primfaktorzerlegungen von ${}n,a$ und ${}b$ aufbaut.

Die folgende Aufgabe setzt eine gewisse Routine im Umgang mit kommutativen Ringen voraus.

Aufgabe 8.8 (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei Elementen ${}a$ und ${}b$ eines kommutativen Ringes derart, dass ${}(a)=(b)$ ist, dass aber ${}a$ und ${}b$ nicht assoziiert sind.

Aufgabe 8.11 (3 Punkte)

Betrachte die Menge ${}G$ der positiven geraden Zahlen zusammen mit ${}1$. Zeige, dass ${}G$ ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von ${}G$. Zeige, dass in ${}G$ jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in ${}G$ gilt.

Aufgabe 11.8 (3 Punkte)

Bestimme die Zerlegung von ${}X^{p-1}-1$ in irreduzible Polynome im Polynomring ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$. Beweise aus dieser Zerlegung den Satz von Wilson.

Aufgabe 11.10 (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl mit ${}p=1\mod 4$ und sei ${}p=x^{2}+y^{2}$ eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten, ${}x,y\in \mathbb {N}$. Es sei ${}k$ ein ungerader Teiler von ${}x$. Dann ist ${}k$ ein Quadratrest modulo ${}p$.

Aufgabe 11.12 (4 Punkte)

Beschreibe die nilpotenten Elemente von ${}\mathbb {Z} /(n)$ und die Reduktion von ${}\mathbb {Z} /(n)$.

Aufgabe 11.14 (6 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge der nilpotenten Elemente in ${}R$ ein Ideal bilden (dieses nennt man das Nilradikal von ${}R$.

Zeige ferner, dass zu einem nilpotenten Element ${}f\in R$ das Element ${}1+f$ eine Einheit ist.

Bestimme in ${}\mathbb {Z} /(9)$ die nilpotenten Elemente und zeige, dass die Zuordnung ${}f\longmapsto 1+f$ ein Gruppenisomorphismus zwischen dem Ideal der nilpotenten Elementen und einer gewissen Untergruppe ${}U$ der Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(9)\right)}^{\times }$ ist.

Beschreibe die Einheitengruppe als direktes Produkt von ${}U$ mit einer weiteren Untergruppe.

Aufgabe 12.8 (2 Punkte)

Betrachte die Quadratrestgruppe

$\mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2},$

wobei ${}\mathbb {Q} ^{\times 2}$ die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse ${}x\in \mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2}$ einen Repräsentanten aus ${}\mathbb {Z}$ gibt.

Aufgabe 12.8 (3 Punkte)

Finde die kleinste Primzahl ${}p$ derart, dass es in ${}\mathbb {Z} /(p)$ ein Element ${}a$ gibt, das weder primitiv noch ein Quadrat noch gleich ${}-1$ ist.

Aufgabe 15.6 (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper und ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige direkt, dass für diese Körpererweiterung der Satz vom primitiven Element gilt.

Aufgabe 15.7 (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom vom Grad ${}n$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. ${}F$ und die (formale) Ableitung ${}F'$ sind teilerfremd.
2. ${}F$ und die (formale) Ableitung ${}F'$ erzeugen das Einheitsideal.
3. ${}F$ besitzt in keinem Erweiterungskörper ${}K\subseteq L$ mehrfache Nullstellen.
4. Es gibt einen Erweiterungskörper ${}K\subseteq L$, so dass ${}F$ als Polynom in ${}L[X]$ in ${}n$ verschiedene Linearfaktoren zerfällt.

Aufgabe 15.8 (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom. Man gebe eine einfache Charakterisierung dafür, dass ${}F$ separabel ist.

Zeige, dass in Charakteristik null jedes irreduzible Polynom separabel ist.

Man gebe ein Beispiel, dass das in positiver Charakteristik nicht immer stimmen muss.

Aufgabe 16.3 (3 Punkte)

Es sei ${}(G,+,0)$ eine kommutative Gruppe. Sei

$E:=\operatorname {End} (G)=\operatorname {Hom} (G,G)$

die Menge der Gruppenhomomorphismen von ${}G$ nach ${}G$ (also die Gruppenendomorphismen auf ${}G$). Definiere auf ${}E$ eine Addition und eine Multiplikation, so dass ${}E$ zu einem (in der Regel nicht kommutativen) Ring wird.

Aufgabe 16.4 (3 Punkte)

Es sei ${}(M,+,0)$ eine kommutative Gruppe und sei ${}E=\operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$ der zugehörige Endomorphismenring. Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass eine ${}R$-Modulstruktur auf ${}M$ äquivalent ist zu einem Ringhomomorphismus ${}R\rightarrow \operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$.

Aufgabe 16.5 (3 Punkte)

Betrachte die rationalen Zahlen ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ als kommutative Gruppe. Zeige, dass sie nicht endlich erzeugt ist.

Aufgabe 16.9 (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}\neq R$ ein Ideal in ${}R$. Zeige: ${}{\mathfrak {a}}$ ist genau dann ein maximales Ideal, wenn es zu jedem ${}g\in R$, ${}g\not \in {\mathfrak {a}}$, ein ${}f\in {\mathfrak {a}}$ und ein ${}r\in R$ gibt mit ${}rg+f=1$.

Aufgabe 16.10 (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring

${}S=R/{\mathfrak {a}}\,.$

Zeige, dass die Ideale von ${}S$ eindeutig denjenigen Idealen von ${}R$ entsprechen, die ${}{\mathfrak {a}}$ umfassen.

Aufgabe 16.11 (2 Punkte)

Zeige, dass jeder Restklassenring eines Hauptidealringes wieder ein Hauptidealring ist. Man gebe ein Beispiel, dass ein Restklassenring eines Hauptidealbereiches kein Hauptidealbereich sein muss.

Aufgabe 17.1 (4 Punkte)

Zeige, dass für natürliche Zahlen ${}a,b\geq 1$ und ${}n\geq 2$ die Zahl ${}a^{n}-b^{n}$ nicht ein Teiler von ${}a^{n}+b^{n}$ ist.

Aufgabe 17.3 (5 Punkte)

Es seien ${}R,S,T$ kommutative Ringe und seien ${}\varphi :R\rightarrow S$ und ${}\psi :S\rightarrow T$ Ringhomomorphismen derart, dass ${}S$ ganz über ${}R$ und ${}T$ ganz über ${}S$ ist. Zeige, dass dann auch ${}T$ ganz über ${}R$ ist.

Aufgabe 17.5 (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Es sei angenommen, dass die Normalisierung von ${}R$ gleich dem Quotientenkörper ${}Q(R)$ ist. Zeige, dass dann ${}R$ selbst schon ein Körper ist.

Aufgabe 17.8 (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und ${}a\in R$. Es sei vorausgesetzt, dass ${}a$ keine Quadratwurzel in ${}R$ besitzt. Zeige, dass das Polynom ${}X^{2}-a$ prim in ${}R[X]$ ist. Tipp: Verwende den Quotientenkörper ${}Q(R)$. Warnung: Prim muss hier nicht zu irreduzibel äquivalent sein.

Aufgabe 17.9 (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und betrachte den Restklassenring

${}R=K[X,Y]/(X^{2}-Y^{3})\,.$

Dies ist ein Integritätsbereich nach Aufgabe *****. Zeige, dass die Normalisierung von ${}R$ gleich dem Polynomring ${}K[T]$ ist. Skizziere die Nullstellenmenge von ${}F=X^{2}-Y^{3}$ in der reellen Ebene und finde eine Parametrisierung dieses Gebildes.

Aufgabe 18.4 (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und ${}R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung. Sei ${}f\in R$. Zeige, dass für das von ${}f$ erzeugte Hauptideal gilt:

${}R\cap (f)S=(f)R\,.$

Aufgabe 18.6 (5 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Betrachte die endliche Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-p)\,$

vom Grad ${}3$. Sei ${}f=aX^{2}+bX+c\in L$ ein Element davon mit ${}a,b,c\in \mathbb {Q}$. Berechne das Minimalpolynom von ${}f$ und man gebe die Koeffizienten davon explizit an. Bestimme insbesondere die Norm und die Spur von ${}f$.

Welche Bedingungen an ${}a,b,c$ ergeben sich aus der Voraussetzung, dass ${}f$ ganz über ${}\mathbb {Z}$ ist?

Aufgabe 18.8 (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und seien ${}{\mathfrak {p}}$ und ${}{\mathfrak {q}}$ zwei verschiedene Primideale. Dann ist

${}{\mathfrak {p}}\cap {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {q}}\,.$

Aufgabe 18.9 (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Dedekindbereich, wo jeder Restklassenring ${}\neq 0$ unendlich ist, und für einen Dedekindbereich, der einen Körper enthält und wo alle echten Restklassenringe endlich sind.

Aufgabe 19.2 (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ eine ${}\mathbb {Z}$-Basis von ${}R$. Zeige, dass dann der Betrag der Diskriminante

${|}\triangle (f_{1},\ldots ,f_{n}){|}$

minimal ist unter allen Diskriminanten von linear unabhängigen ${}n$-Tupeln aus ${}R$.

Aufgabe 19.3 (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ eine ${}\mathbb {Z}$-Basis von ${}R$ mit Diskriminante

$\triangle (f_{1},\ldots ,f_{n}).$

Es sei ${}h\in R$. Zeige, dass ${}hf_{1},\ldots ,hf_{n}$ eine ${}\mathbb {Z}$-Basis des Hauptideals ${}(h)$ bildet und dass gilt:

$\min\{{|}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n}){|}:\,(b_{1},\ldots ,b_{n})\,\mathbb {Z} {\mbox{-Basis von }}(h)\}=N(h)^{2}{|}\triangle (f_{1},\ldots ,f_{n}){|}.$

Aufgabe 19.5 (3 Punkte)

Finde möglichst viele (nicht isomorphe) kommutative Ringe mit vier Elementen. Beweise, dass die Liste vollständig ist.

Aufgabe 19.9 (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}e,d\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige: ${}{\mathbb {F} }_{p^{d}}$ ist genau dann ein Unterkörper von ${}{\mathbb {F} }_{p^{e}}$, wenn ${}e$ ein Vielfaches von ${}d$ ist.

Aufgabe 19.10 (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K\subseteq L$ eine Ringerweiterung vom Grad drei. Klassifiziere die möglichen Typen von ${}L$, ähnlich wie in Lemma 19.9.

Aufgabe 20.2 (2 Punkte)

Sei ${}q$ eine echte Primzahlpotenz und ${}{\mathbb {F} }_{q}$ der zugehörige endliche Körper. Zeige, dass in ${}{\mathbb {F} }_{q^{2}}$ jedes Element aus ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ein Quadrat ist.

Aufgabe 20.3 (2 Punkte)

Bestimme den (Isomorphietyp des) Ganzheitsringes der quadratischen Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{2}+{\frac {3}{2}}X-{\frac {5}{7}}\right)}\,.$

Aufgabe 20.4 (5 Punkte)

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und betrachte die quadratische Erweiterung ${}\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$. Es sei ${}p$ ein Primfaktor von ${}D$ und es sei vorausgesetzt, dass weder ${}p$ noch ${}-p$ ein Quadratrest modulo ${}D/p$ ist. Dann ist ${}p$ irreduzibel in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$, aber nicht prim.

Aufgabe 20.7 (2 Punkte)

Finde ein quadratfreies ${}D$ derart, dass die natürliche Inklusion

${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq A_{D}\,$

die Eigenschaft besitzt, dass es zwei verschiedene Primideale ${}{\mathfrak {q}}$ und ${}{\mathfrak {q}}'$ in ${}A_{D}$ gibt, die beide über dem gleichen Primideal ${}{\mathfrak {p}}\subset \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ liegen. Was ist ${}{\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z}$?

Aufgabe 20.8 (2 Punkte)

Bestimme für die quadratischen Zahlbereiche ${}A_{D}$ mit negativem ${}D$ sämtliche Einheiten.

Aufgabe 21.1 (3 Punkte)

Es sei ${}H$ eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass entweder ${}H={\mathbb {Z} }a$ mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl ${}a$ ist, oder aber ${}H$ dicht in ${}\mathbb {R}$ ist.

Aufgabe 21.2 (2 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und betrachte die quadratische Erweiterung ${}{\mathbb {Z} }[{\sqrt {p}}]$. Zeige, dass dies eine dichte Untergruppe der reellen Zahlen ist.

Aufgabe 21.6 (2 Punkte)

Quadratische Erweiterungen von Q/D ist sqrt(-10)/Bestimme (6+5 sqrt(-10), 3-2 sqrt(-10))/Aufgabe

Aufgabe 21.7 (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Zeige unter Verwendung der Norm, dass jedes Element ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, eine Faktorisierung in irreduzible Elemente besitzt.

Aufgabe 21.11 (6 Punkte)

Eine (Fußball-)Spielgruppe bei einer Europa- oder Weltmeisterschaft besteht aus vier Mannschaften, und jede spielt gegen jede. Ein Spiel kann unentschieden oder mit einem Sieg für eine der beiden Mannschaften enden. Wir interessieren uns für die diskrete Struktur einer Spielgruppe, die man durch einen gerichteten Graphen beschreiben kann, wobei man einen Sieg von ${}A$ über ${}B$ durch einen Pfeil von ${}A$ nach ${}B$ (und ein Unentschieden durch keine Verbindung) ausdrücken kann.

Definiere einen Isomorphiebegriff für Spielgruppen und klassifiziere die Spielgruppen entlang geeigneter numerischer Invarianten. Wie viele Spielgruppen gibt es? Aus welchen Isomorphietypen lässt sich die Tabellenordnung ableiten, aus welchen nicht?