Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 7

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Für ungerade Primzahlen kann man sofort eine Aussage über die Anzahl der Quadratreste machen.



Satz  

Sei eine ungerade Primzahl. Dann gibt es quadratische Reste modulo und nichtquadratische Reste modulo .

Beweis  

Zunächst ist ein quadratischer Rest. Wir betrachten im folgenden nur noch die Einheiten in (also die von verschiedenen Reste) und zeigen, dass es darunter gleich viele quadratische und nichtquadratische Reste gibt. Die Abbildung

ist offenbar ein Gruppenhomomorphismus der Einheitengruppe in sich selbst. Ein Element ist genau dann ein Quadratrest, wenn es im Bild dieses Homomorphismus liegt. Nach dem Isomorphiesatz ist „Bild = Urbild modulo Kern“, so dass wir den Kern bestimmen müssen. Der Kern besteht aus allen Elementen mit . Dazu gehören und , und diese beiden Elemente sind verschieden, da ungerade ist. Aus der polynomialen Identität folgt, dass es keine weiteren Lösungen geben kann. Der Kern besteht also aus genau Elementen und damit besteht das Bild aus Elementen.



Definition  

Für eine ungerade Primzahl und eine zu teilerfremde Zahl definiert man das Legendre-Symbol, geschrieben (sprich „ nach “), durch

Insbesondere ist . Die Werte des Legendre-Symbols, also und , kann man dabei in , in oder in auffassen.



Lemma  

Sei eine ungerade Primzahl. Dann ist die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis  

Die Quadrate bilden offenbar eine Untergruppe in der Einheitengruppe , die nach Satz 7.1 den Index besitzt. Daher ist

und die Restklassenabbildung ist gerade die Abbildung auf das Legendre-Symbol.




Satz  

Sei eine ungerade Primzahl. Dann gilt für eine zu teilerfremde Zahl die Gleichheit

Beweis  

Es ist nach Lemma 4.6. Daher ist

Die Abbildung

ist (wie jedes Potenzieren) ein Gruppenhomomorphismus. Die Quadrate werden darunter auf abgebildet, da für die Gleichheit

gilt. Da nach Satz 5.11 die Einheitengruppe zyklisch ist, muss diese Abbildung surjektiv sein (sonst hätte jedes Element eine kleinere Ordnung). Damit muss diese Abbildung mit der durch das Legendre-Symbol gegebenen übereinstimmen.


Seien und zwei ungerade Primzahlen. Dann kann ein quadratischer Rest modulo sein (oder nicht) und kann ein quadratischer Rest modulo sein, oder nicht. Das Quadratische Reziprozitätsgesetz, das von Euler entdeckt und von Gauss erstmals bewiesen wurde, behauptet nun, dass es einen direkten Zusammenhang zwischen diesen beiden Eigenschaften gibt. Es erlaubt weiterhin mit den beiden unten genannten Ergänzungssätzen algorithmisch zu entscheiden, ob eine Zahl ein quadratischer Rest oder ein quadratischer Nichtrest ist.



Satz

Seien und zwei verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt:

Beweis

Dies wird weiter unten nach einigen Vorbereitungen bewiesen. Die zweite Gleichung ist elementar.


Die beiden folgenden Sätze werden die Ergänzungssätze zum quadratischen Reziprozitätsgesetz genannt.



Satz  

Für eine ungerade Primzahl gilt:

Beweis  

Die Gleichung von links und rechts wurde bereits in Satz 6.7 bewiesen. Die erste Gleichung ist auch ein Spezialfall von Satz 7.4 und die zweite Gleichung ist elementar.



Satz

Für eine ungerade Primzahl gilt:

Beweis

Dies wird weiter unten bewiesen.


Die Elemente im Restklassenkörper werden meist durch die Zahlen von bis repräsentiert. Für das folgende Vorzeichenlemma von Gauß ist es sinnvoll, ein anderes Repräsentantensystem (für die von verschiedenen Elemente) zu fixieren. Wir setzen und

Wir unterteilen also die Einheitengruppe in eine positive und eine negative Hälfte. Dieses Repräsentantensystem ist dadurch ausgezeichnet, dass jedes Element durch das betragmäßig kleinste Element repräsentiert wird. Im folgenden Lemma betrachtet man zu einer zu teilerfremden Zahl die Menge der Vielfachen , , in und schaut, ob sie in der negativen oder der positiven Hälfte liegen. Man definiert die sogenannten Gaußschen Vorzeichen



Lemma  

Für eine ungerade Primzahl und eine zu teilerfremde Zahl gilt mit den zuvor eingeführten Bezeichnungen

Beweis  

Es sei durch die Bedingung

festgelegt. Wir betrachten alle Vielfachen , . Die Menge all dieser Vielfachen ist selbst ganz , da ja eine Einheit und daher die Multiplikation mit eine Bijektion ist. Es ist für . Daher ist . Deshalb gilt und somit

Durch kürzen mit (das ist eine Einheit) ergibt sich

und das Euler-Kriterium, nämlich

liefert das Ergebnis.


Mit dem Gaußschen Vorzeichenlemma beweisen wir zunächst den zweiten Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz, der beschreibt, wann ein quadratischer Rest ist.



Satz  

Für eine ungerade Primzahl gilt:

Beweis  

Wir benutzen Fakt ***** und haben zu bestimmen, wie viele der Zahlen , , in liegen. Nun ist genau dann, wenn ist (alle zu betrachtenden Vielfachen von sind kleiner als ). Dies ist äquivalent zu und wir haben das kleinste mit dieser Eigenschaft zu finden. Ist ein Vielfaches von , so ist das kleinste und insgesamt gibt es in diesem Fall

solche . Diese Anzahl ist bei gerade und bei ungerade, was das Ergebnis in diesen Fällen ergibt.

Sei also nun bzw. . Dann ist das kleinste derart, dass ist, gleich , und es gibt insgesamt

solche . Diese Anzahl ist bei ungerade und bei gerade, was die Behauptung in diesen Fällen ergibt.



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