Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 6
Wir beenden zunächst unsere Überlegungen, wann die Einheitengruppe eines Restklassenringes von zyklisch ist.
Die Einheitengruppe von
ist nicht zyklisch für .
Die Abbildung
ist surjektiv (da genau die ungeraden Elemente die Einheiten sind) und hat als Kern eine Gruppe, die isomorph zu ist. Der Kern besteht also neben aus einem weiteren Element , das die Ordnung zwei besitzt. Das Element wird unter der Abbildung auf geschickt, und in gilt , da ist. Deshalb gehört nicht zum Kern und somit ist in . Also besitzt diese Gruppe zwei verschiedene Elemente der Ordnung zwei. Damit kann die Gruppe nicht zyklisch sein.
Unser abschließendes Resultat ist nun der folgende Satz.
In den beschriebenen Fällen ist die Einheitengruppe zyklisch aufgrund von Satz 5.11, Bemerkung 5.12 und der Isomorphie
Es sei also umgekehrt mit der Eigenschaft gegeben, dass zyklisch sei. Es sei die kanonische Primfaktorzerlegung mit ungeraden Primzahlen und , die nach dem Chinesischen Restsatz zur Isomorphie
führt. Da Restklassengruppen von zyklischen Gruppen wieder zyklisch sind, folgt nach Lemma 6.1, dass oder ist. Ein Produkt von zyklischen Gruppen ist nur dann zyklisch, wenn die beteiligten Ordnungen paarweise teilerfremd sind. Die Ordnungen von sind aber gerade für ungerade und , und die Ordnung von ist gerade für . Also ist . Bei ist nicht möglich. Bei verbleiben die angeführten Fälle .
- Quadratische Reste
Wir wollen nun wissen, welche Zahlen modulo einer fixierten Zahl (häufig einer Primzahl) ein Quadrat sind, also eine Quadratwurzel besitzen. Man spricht von quadratischen Resten und quadratischen Nichtresten (besser ist es, von nichtquadratischen Resten zu sprechen).
Eine ganze Zahl heißt quadratischer Rest modulo , wenn es eine Zahl mit
gibt. Im anderen Fall heißt ein nichtquadratischer Rest modulo .
Eine Quadratzahl ist natürlich auch ein quadratischer Rest modulo jeder Zahl . Umgekehrt ist eine Zahl, die selbst keine Quadratzahl ist, modulo gewisser Zahlen ein quadratischer Rest und modulo gewisser Zahlen ein quadratischer Nichtrest. Grundsätzlich kann man zu gegebenen und naiv testen, ob ein quadratischer Rest ist oder nicht, indem man alle Reste quadriert und schaut, ob der durch definierte Rest dabei ist. Die Frage nach den Quadratresten weist aber eine Reihe von Gesetzmäßigkeiten auf, die wir im folgenden kennen lernen werden und mit deren Hilfe man effektiver entscheiden kann, ob ein Quadratrest vorliegt oder nicht.
Es sei eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung (die seien also verschieden).
Dann ist genau dann Quadratrest modulo , wenn Quadratrest modulo ist für alle .
Dies folgt unmittelbar aus Satz 4.13.
Es sei eine ungerade Primzahl und sei . Dann gelten folgende Aussagen.
- Ist teilerfremd zu (also kein Vielfaches von ), dann ist genau dann ein Quadratrest modulo , wenn ein Quadratrest modulo ist.
- Ist mit teilerfremd zu und , so ist genau dann ein Quadratrest modulo , wenn gerade und wenn ein Quadratrest modulo ist.
Die natürliche Abbildung
liefert sofort, dass ein Quadratrest modulo auch ein Quadratrest modulo ist. Wir zeigen zunächst die Umkehrung für Einheiten. Nach Lemma 5.9 ist die Abbildung
surjektiv und nach Satz 5.11 sind die beteiligten Gruppen zyklisch. D.h. ein Erzeuger wird auf einen Erzeuger abgebildet. Insbesondere kann man diese Gruppen so mit additiven zyklischen Gruppen identifizieren, dass der Homomorphismus den additiven Erzeuger auf die schickt. Dies erreicht man, indem man im folgenden kommutativen Diagramm die Identifikation links mit einem primitiven Element und rechts ebenfalls mit (jetzt aufgefasst in ) stiftet.
Wir schreiben die untere horizontale Abbildung, unter Verwendung des Chinesischen Restsatzes, als
Da überdies und teilerfremd sind, liegt hier insgesamt einfach die Projektion vor.
Die Voraussetzung, dass modulo ein Quadratrest ist, übersetzt sich dahingehend, dass das entsprechende Element (sagen wir ) in ein Vielfaches von ist. D.h. die zweite Komponente, also , ist ein Vielfaches der . Da modulo der ungeraden Zahl jede Zahl ein Vielfaches von ist (da eine Einheit in ist), ist auch die erste Komponente, also , ein Vielfaches von und so muss insgesamt ein Vielfaches der sein.
Es sei nun , , und zunächst angenommen, dass ein Quadrat in ist. D.h wir können als mit , schreiben, wobei eine Einheit sei. Es ist also in und es ist (sonst steht hier ). Durch Betrachten modulo und modulo sieht man, dass sein muss. Insbesondere ist gerade. Es gilt also und somit können wir schreiben. Kürzen in ergibt , also . Also ist ein quadratischer Rest modulo und nach dem ersten Teil auch modulo .
Die Umkehrung von (2) ist nach der unter (1) bewiesenen Aussage klar.
Es sei und sei
- Für ist genau dann quadratischer Rest, wenn ist.
- Für und ungerade ist genau dann quadratischer Rest modulo , wenn ist.
(1) ist trivial.
(2). In ist von den ungeraden Zahlen lediglich die ein Quadrat, sodass der Ringhomomorphismus
für zeigt, dass die numerische Bedingung notwendig ist. Es sei diese umgekehrt nun erfüllt, also mit . Dann kann man nach Bemerkung 5.12
schreiben. Dies gilt aber auch modulo , woraus sofort folgt, dass gerade und dass das Vorzeichen positiv ist. Dann ist eine Quadratwurzel von in .
Wir werden uns im folgenden weitgehend darauf beschränken, welche Zahlen modulo einer Primzahl Quadratreste sind. Da allerdings die Primfaktorzerlegung einer größeren Zahl nicht völlig unproblematisch ist, müssen wir später auch Techniken entwickeln, die ohne Kenntnis der Primfaktorzerlegung auskommen. Direkt beantworten lässt sich die Frage, wann ein Quadratrest modulo einer Primzahl ist.
Es sei eine Primzahl. Dann gelten folgende Aussagen.
Für ist ein Quadrat in .
Für ist ein Quadrat in .
Für ist kein Quadrat in .
Die erste Aussage ist klar, sei also ungerade. Nach Satz 5.4 ist die Einheitengruppe zyklisch der geraden Ordnung . Identifiziert man mit , so entspricht dem Element , und besitzt genau dann eine Quadratwurzel, wenn in ein Vielfaches von ist. Dies ist aber genau dann der Fall, wenn selbst gerade ist, was zu äquivalent ist.
