Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 12/kontrolle
- Übungsaufgaben
Betrachte die Quadratrestgruppe
wobei die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse einen Repräsentanten aus gibt.
Zeige, dass für jedes die Abschätzungen
gelten.
Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von .
Bestimme die Primfaktorzerlegung von .
Bestimme die Primfaktorzerlegung von
Zeige mit Hilfe des Bertrandschen Postulats, dass für jedes der Binomialkoeffizient
einen Primfaktor größer als besitzt.
Zeige, dass für die Fakultät keine Quadratzahl ist.
Es sei . Zeige, dass das Produkt von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von geteilt wird.
Zur Erinnerung.
Zeige, dass die Logarithmen zur Basis die folgenden Rechenregeln erfüllen.
- Es ist und , das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis .
- Es gilt
- Es gilt für .
- Es gilt
Es sei die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge , , sowohl in als auch in einen Häufungspunkt besitzt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge , , sowohl in als auch in einen Häufungspunkt besitzt.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise Korollar 12.5, also die Aussage, dass
ist, mit Hilfe von Korollar 11.6 über die Riemannsche -Funktion.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme anhand des Beweises der Ungleichungen von Tschebyschow einen expliziten Wert für mit .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige unter Verwendung der Ungleichungen von Tschebyschow, dass es (zumindest für hinreichend groß) mehr Primzahlen zwischen und als zwischen und gibt.
<< | Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017) | >> |
---|