Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 20/latex

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\setcounter{section}{20}






\zwischenueberschrift{Quadratische Zahlbereiche}




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionswort {quadratischer Zahlbereich}{} ist der \definitionsverweis {Ring der ganzen Zahlen}{}{} in einem \definitionsverweis {Erweiterungskörper}{}{} von $\Q$ vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $2$.

}

Quadratische Zahlbereiche sind zwar die einfachsten Zahlbereiche, sind aber keineswegs einfach, sondern zeigen bereits die Reichhaltigkeit der algebraischen Zahlentheorie.




\inputdefinition
{}
{

Eine ganze Zahl heißt \definitionswort {quadratfrei}{,} wenn jeder Primfaktor von ihr nur mit einem einfachen \definitionsverweis {Exponenten}{}{} vorkommt.

}

\inputnotation{}{

Zu einer \definitionsverweis {quadratfreien}{}{} Zahl
\mathl{D \neq 0,1}{} bezeichnet man den zugehörigen \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{,} also den \definitionsverweis {Ring der ganzen Zahlen}{}{} in
\mathl{\Q[\sqrt{D}]}{,} mit
\mathdisp {A_D} { . }

}

Eine quadratische Körpererweiterung der rationalen Zahlen wird durch ein normiertes irreduzibles Polynom beschrieben, das man durch quadratisches Ergänzen auf die Form
\mathl{X^2-q}{} bringen kann. Durch Multiplikation mit einem Quadrat \zusatzklammer {siehe Aufgabe 12.1} {} {} kann man $q$ durch eine quadratfreie ganze Zahl ersetzen. Die quadratische Körpererweiterung kann man als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ = }{ \Q[ \sqrt{D}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mt einer quadratfreien Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ \neq }{0,1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ansetzen. Ein großer Unterschied besteht je nachdem, ob $D$ positiv oder negativ ist. Im positiven Fall ist $\sqrt{D}$ eine reelle irrationale Zahl, im negativen Fall handelt es sich um eine imaginäre Zahl. Man definiert:




\inputdefinition
{}
{

Sei
\mathl{D \neq 0,1}{} \definitionsverweis {quadratfrei}{}{} und $A_D$ der zugehörige \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.} Dann heißt $A_D$ \definitionswort {reell-quadratisch}{,} wenn $D$ positiv ist, und \definitionswort {imaginär-quadratisch}{,} wenn $D$ negativ ist.

}




\inputdefinition
{}
{

Sei
\mathl{D \neq 0,1}{} eine \definitionsverweis {quadratfreie}{}{} Zahl und sei
\mathl{\Q[\sqrt{D}]}{} die zugehörige quadratische \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und $A_D$ der zugehörige \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.} Dann wird der Automorphismus \zusatzklammer {auf
\mathl{\Q[\sqrt{D}]}{,} auf
\mathl{\Z[\sqrt{D}]}{} und auf $A_D$} {} {}
\mathdisp {a+b \sqrt{D} \longmapsto a -b \sqrt{D}} { }
als \definitionswort {Konjugation}{} bezeichnet.

}

Wir bezeichnen die Konjugation von $z$ mit $\bar{z}$.






\inputbemerkung
{}
{

Im \definitionsverweis {imaginär-quadratischen}{}{} Fall, wenn also
\mathl{D < 0}{} ist, so ist
\mathl{\sqrt{D} = { \mathrm i} \sqrt{-D}}{} mit
\mathl{\sqrt{-D}}{} reell. Die \definitionsverweis {Konjugation}{}{} schickt dies dann auf
\mathl{- \sqrt{D} = - { \mathrm i} \sqrt{-D}}{,} so dass diese Konjugation mit der \definitionsverweis {komplexen Konjugation}{}{} übereinstimmt. Im reell-quadratischen Fall allerdings hat die Konjugation
\mathl{\sqrt{D} \mapsto -\sqrt{D}}{} nichts mit der komplexen Konjugation zu tun.

}






\inputbemerkung
{}
{

Bei einer endlichen Körpererweiterung
\mathl{K \subseteq L}{} werden \definitionsverweis {Norm}{}{} und \definitionsverweis {Spur}{}{} eines Elementes
\mathl{z \in L}{} über die Determinante und die Spur der Multiplikationsabbildung \maabb {f} {L} {L } {} definiert. Im Fall einer quadratischen Erweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subset} { \Q[\sqrt{D}] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sind diese beiden Invarianten einfach zu berechnen: Da $1$ und $\sqrt{D}$ eine $\Q$-Basis bilden, ist
\mathl{z=a+b\sqrt{D}}{} und damit ist die Multiplikationsmatrix durch
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & bD \\ b & a \end{pmatrix}} { }
gegeben. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N(z) }
{ =} { a^2-b^2 D }
{ =} { (a+b \sqrt{D})(a -b \sqrt{D}) }
{ =} { z \overline{z} }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S(z) }
{ =} { 2a }
{ =} { (a+b \sqrt{D}) + (a -b \sqrt{D}) }
{ =} { z + \overline{z} }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputfaktbeweis
{Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Ganz, wenn Spur und Norm ganz ist/Fakt}
{Lemma}
{}
{

Sei
\mathl{{\mathbb Q} \subset L}{} eine quadratische Körpererweiterung und
\mathl{f \in L}{.} Dann ist $f$ genau dann \definitionsverweis {ganz}{}{} über $\Z$, wenn sowohl die Norm als auch die Spur von $f$ zu $\Z$ gehören.

}
{

Dies folgt aus Satz 18.6, aus Satz 15.15, und aus der Gestalt des Minimalpolynoms \zusatzklammer {nämlich gleich
\mathl{f^2 +S(f)f +N(f)}{,} falls
\mathl{f \notin \Q}{}} {} {} im quadratischen Fall.

}


Wir kommen zur expliziten Beschreibung eines quadratischen Zahlbereiches.





\inputfaktbeweis
{Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt}
{Satz}
{}
{

Sei
\mathl{D \neq 0,1}{} eine \definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{} und $A_D$ der zugehörige \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.} Dann gilt
\mathdisp {A_D = {\Z}[\sqrt{D}], \text{ wenn } D= 2,3 \mod 4} { }
und
\mathdisp {A_D= {\Z}[\frac{1+\sqrt{D} }{2}], \text{ wenn } D= 1 \mod 4} { . }

}
{

Sei
\mathl{x \in A_D}{} gegeben,
\mathl{x=a+b \sqrt{D}}{,}
\mathl{a,b \in {\mathbb Q}}{.} Aus Lemma 20.8 folgt
\mathdisp {N(x)= a^2- D b^2 \in {\Z} \text{ und } S(x)=2a \in {\Z}} { . }
Aus der zweiten Gleichung folgt, dass
\mathl{a = { \frac{ n }{ 2 } }}{} mit
\mathl{n \in \Z}{} ist. Sei
\mathl{b= { \frac{ r }{ s } }}{} mit $r,s$ teilerfremd,
\mathl{s \geq 1}{.} Die erste Gleichung wird dann zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ n }{ 2 } } \right) }^2 - D { \left( { \frac{ r }{ s } } \right) }^2 }
{ = }{ k }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n^2 - 4 D { \left( { \frac{ r }{ s } } \right) }^2 }
{ = }{ 4k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dies bedeutet, da $r$ und $s$ teilerfremd sind, dass $4D$ von $s^2$ geteilt wird. Da ferner $D$ quadratfrei ist, folgt, dass
\mathl{s=1}{} oder
\mathl{s=2}{} ist. Im ersten Fall ist $n$ ein Vielfaches von $2$ \zusatzklammer {da $n^2$ ein Vielfaches von $4$ ist} {} {,} so dass
\mathl{x \in \Z[\sqrt{D}]}{} ist.

Sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} was zur Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n^2 - D r^2 }
{ =} { 4k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} führt. Wir betrachten diese Gleichung modulo $4$. Bei $n$ und $r$ gerade ist
\mathl{x \in \Z[\sqrt{D}]}{.} Die einzigen Quadrate in
\mathl{\Z/(4)}{} sind $0$ und $1$, so dass für
\mathl{D=2,3 \mod 4}{} keine weitere Lösung existiert. Für
\mathl{D=1 \mod 4}{} hingegen gibt es auch noch die Lösung
\mathl{n=1 \mod 2}{} und
\mathl{r =1 \mod 2}{,} also $n$ und $r$ beide ungerade. Diese Lösungen gehören alle zu
\mathl{{\mathbb Z}[\frac{1+\sqrt{D} }{2}]}{.}

Die umgekehrte Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z[\sqrt{D}] }
{ \subseteq }{ A_D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist klar, sei also
\mathl{D=1 \mod 4}{.} Dann ist aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \frac{1 + \sqrt{D} }{2} \right) }^2 - \frac{1 + \sqrt{D} }{2} }
{ =} {\frac{1+ D +2 \sqrt{D}-2-2 \sqrt{D} }{4} }
{ =} {\frac{D-1}{4} \in \Z }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} und dabei ist
\mathl{\frac{D-1}{4}}{} eine ganze Zahl, so dass dies sofort eine Ganzheitsgleichung über $\Z$ ergibt.

}


In den im vorstehenden Satz beschriebenen Fällen kann man jeweils den Ring der ganzen Zahlen durch eine Variable und eine Gleichung beschreiben. Für
\mathl{D= 2,3 \mod 4}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A_D }
{ \cong} { \Z[ \sqrt{D} ] }
{ \cong} { \Z[X]/(X^2-D) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für
\mathl{D= 1 \mod 4}{} setzt man häufig
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega }
{ = }{ \frac{1+\sqrt{D} }{2} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für den Algebra-Erzeuger. Dieser Erzeuger erfüllt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega ^2 - \omega - \frac{D-1}{4} }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir haben also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A_D }
{ \cong} { {\Z}[\omega]/ { \left( \omega^2- \omega - \frac{D-1}{4} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wie werden häufiger in beiden Fällen diese Ganzheitsbasis
\mathl{1, \omega}{} nennen, mit
\mathl{\omega= \sqrt{D}}{} im ersten Fall und
\mathl{\omega=\frac{1 + \sqrt{D} }{2}}{} im zweiten Fall.





\inputfaktbeweis
{Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Diskriminante/Fakt}
{Lemma}
{}
{

Sei
\mathl{D \neq 0,1}{} eine \definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{} und $A_D$ der zugehörige \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{.}{} Dann ist die \definitionsverweis {Diskriminante}{}{} von $A_D$ gleich
\mathdisp {\triangle = 4D , \text{ wenn } D= 2,3 \mod 4} { }
und
\mathdisp {\triangle =D, \text{ wenn } D= 1 \mod 4} { . }

}
{

Im Fall
\mathl{D= 2,3 \mod 4}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_D }
{ = }{ \Z[X]/(X^2-D) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und daher bilden $1$ und $X$ eine Ganzheitsbasis. Die möglichen Produkte zu dieser Basis sind in Matrixschreibweise
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & X \\ X & D \end{pmatrix}} { . }
Wendet man darauf kompoentenweise die \definitionsverweis {Spur}{}{} an so erhält man
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2D \end{pmatrix}} { }
und die Determinante davon ist $4D$.

Im Fall
\mathl{D= 1 \mod 4}{} ist hingegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A_D }
{ =} {\Z[\omega]/ { \left( \omega^2-\omega - \frac{D-1}{4} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und eine Ganzheitsbasis ist $1$ und $\omega$. Die Matrix der Basisprodukte ist dann
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & \omega \\ \omega & \omega + \frac{D-1}{4} \end{pmatrix}} { . }
Wendet man darauf die Spur an \zusatzklammer {die Spur von $\omega$ ist $1$} {} {,} so erhält man
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 + \frac{D-1}{2} \end{pmatrix}} { }
und die Determinante davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 { \left( 1+ \frac{D-1}{2} \right) } -1 }
{ =} { 2 +D-1-1 }
{ =} { D }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}







\zwischenueberschrift{Primideale in quadratischen Zahlbereichen}






\inputbemerkung
{}
{

Das Verhalten von Primzahlen in einer quadratischen Erweiterung lässt sich aus der oben erzielten Beschreibung mit Gleichungen erhalten.

Generell wird bei
\mathl{R=\Z[X]/(F)}{} das Verhalten von $p$ in $R$ durch
\mathl{( \Z/(p) )[X]/(\overline{F})}{} beschrieben, wobei $\overline{F}$ bedeutet, dass die ganzzahligen Koeffizienten durch ihre Restklasse modulo $p$ ersetzt werden. Wir nennen den Ring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R/(p) }
{ =} { \Z/(p) [X]/(\overline{F}) }
{ =} { \Z[X](p, F) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} den \stichwort {Faserring} {} über $p$.

Bei
\mathl{D=2,3 \mod 4}{} hat man einfach
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R/(p) }
{ =} {\Z/(p) [X]/(X^2-D ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei man $D$ durch
\mathl{D \mod p}{} ersetzen kann. Die prinzipiellen Möglichkeiten werden in Lemma 19.9 beschrieben. Ob über $p$ ein oder zwei Primideale liegen hängt davon ab, ob $D$ ein Quadratrest modulo $p$ ist und ob $p$ ungerade ist, und $p$ ist prim genau dann, wenn $D$ kein Quadratrest modulo $p$ ist.

Bei
\mathl{D=1 \mod 4}{} hat man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R/(p) }
{ =} { \Z/(p) [\omega]/ { \left( \omega^2-\omega - \frac{D-1}{4} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Ist $p$ ungerade, so ist $2$ eine Einheit in
\mathl{\Z/(p)}{} und man kann quadratisch ergänzen. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega^2-\omega - \frac{D-1}{4} }
{ =} { { \left( \omega - \frac{1}{2} \right) }^2 - \frac{1}{4}- \frac{D-1}{4} }
{ =} { { \left( \omega - \frac{1}{2} \right) }^2 - \frac{D}{4} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Der Faserring hat daher die Form
\mathl{\Z/(p) [Y]/ { \left( Y^2- \frac{D}{4} \right) }}{} und nach Multiplikation der Gleichung mit der Einheit $4$ kann man dies als
\mathl{\Z/(p) [Z]/(Z^2-D)}{} schreiben, so dass es wieder darum geht, ob $D$ ein Quadratrest modulo $p$ ist.

Ist hingegen
\mathl{p=2}{,} so schreibt sich die Gleichung als
\mathl{\omega^2+\omega + c}{,} wobei
\mathl{c=1}{} ist, wenn
\mathl{D=5 \mod 8}{} ist, und
\mathl{c=0}{,} wenn
\mathl{D=1 \mod 8}{.} Im ersten Fall ist die Gleichung irreduzibel über $\Z/(2)$ und $2$ ist prim in $R$, im zweiten Fall ist die Gleichung reduzibel und $2$ zerfällt in zwei Primideale.

}

Damit können wir entscheiden, wie viele Primideale in $A_D$ über einer Primzahl $p$ liegen. Wir wollen darüber hinaus genau beschreiben, wie das Zerlegungsverhalten einer Primzahl in einer quadratischen Erweiterung aussieht, und beginnen mit der Situation, wo $p$ die Diskriminante teilt.





\inputfaktbeweis
{Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Teiler der Diskriminante/verzweigt/Fakt}
{Lemma}
{}
{

Sei
\mathl{D \neq 0,1}{} eine \definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{} und $A_D$ der zugehörige \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.} Die \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $p$ sei ein Teiler der \definitionsverweis {Diskriminante}{}{} $\triangle$ von $A_D$. Dann gibt es oberhalb von $p$ genau ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$ und es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}^2 }
{ = }{(p)A_D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{

Sei zunächst
\mathl{D= 2,3 \mod 4}{,} so dass
\mathl{\triangle = 4D}{} nach Lemma 20.10 ist und als Primteiler $p$ der Diskriminante $2$ und die Teiler von $D$ in Frage kommen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A_D/(p) }
{ =} { (\Z[X]/(X^2-D)/(p)) }
{ =} { ( \Z/(p)) [X]/ { \left( X^2-D \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bei
\mathl{p {{|}} D}{} steht hier
\mathl{( \Z/(p) ) [X]/(X^2)}{} und dieser Ring hat das einzige Primideal
\mathl{(X)}{} mit
\mathl{X^2=0}{.} Diesem Primideal entspricht in $A_D$ das Primideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} }
{ = }{(p,X) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}^2 }
{ = }{(p) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Einerseits gilt für
\mathl{f \in {\mathfrak p}^2}{} im Faserring modulo $p$ die Beziehung
\mathl{f \in (X^2)=0}{,} woraus
\mathl{f \in (p)}{} folgt. Andererseits ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X^2 }
{ = }{D }
{ = }{ up }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {in $A_D$} {} {} mit
\mathl{u \in \Z}{.} Da $D$ quadratfrei ist, ist $u$ teilerfremd zu $p$ und daher kann man mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ = }{ ru+sp }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p }
{ =} { p(ru+sp) }
{ =} {rup+sp^2 }
{ =} {rX^2+sp^2 }
{ \in} { {\mathfrak p}^2 }
} {}{}{.} Bei $p=2$ gilt in
\mathl{\Z/(2) [X]}{} die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (X-D)^2 }
{ = }{X^2-D^2 }
{ = }{X^2-D }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} so dass eine analoge Situation vorliegt.

Sei jetzt
\mathl{D= 1 \mod 4}{} und sei $p$ ein Primteiler von
\mathl{\triangle=D}{.} Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A_D/(p) }
{ =} { { \left( \Z[\omega]/ { \left( \omega^2- \omega - \frac{D-1}{4} \right) } \right) } /(p) }
{ =} { ( \Z/(p)) [\omega]/ { \left( \omega^2- \omega - { \frac{ D-1 }{ 4 } } \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da $D$ ungerade ist, ist $2$ eine Einheit in
\mathl{\Z/(p)}{,} so dass man die Gleichung modulo $p$ als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \omega- \frac{1}{2} \right) }^2 - \frac{1}{4} - \frac{D-1}{4} }
{ =} { { \left( \omega- \frac{1}{2} \right) }^2 -\frac{D}{4} }
{ =} { { \left( \omega- \frac{1}{2} \right) }^2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} schreiben kann, so dass wieder eine analoge Situation vorliegt.

}


Zu einem Ideal ${\mathfrak a}$ bezeichnet $\overline{ {\mathfrak a} }$ das \stichwort {konjugierte Ideal} {,} das aus allen konjugierten Elementen aus ${\mathfrak a}$ besteht.





\inputfaktbeweis
{Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Primzahlverhalten/Fakt}
{Satz}
{}
{

Sei $D \neq 0,1$ eine \definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{} und $A_D$ der zugehörige \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.} Dann gibt es für eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $p$ die folgenden drei Möglichkeiten: \aufzaehlungdrei{$p$ ist prim in $A_D$. }{Es gibt ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$ in $A_D$ derart, dass
\mathl{(p)= {\mathfrak p}^2}{} ist. }{Es gibt ein Primideal ${\mathfrak p}$ in $A_D$ derart, dass
\mathl{(p)= {\mathfrak p} \overline{ {\mathfrak p} }}{} ist mit
\mathl{{\mathfrak p} \neq \overline{ {\mathfrak p}}}{.} }

}
{

Sei
\mathl{R=A_D}{.} Wir betrachten den Restklassenring
\mathl{L=R/(p)}{,} der eine quadratische Erweiterung des Körpers
\mathl{\Z/(p)}{} ist. Damit gibt es nach Lemma 19.9 die drei Möglichkeiten: \aufzaehlungdrei{$L$ ist ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} }{$L$ ist von der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ = }{ \Z/(p) [\epsilon]/\epsilon^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{$L$ ist der \definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ \cong }{ \Z/(p) \times \Z/(p) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } Im ersten Fall ist $p$ ein Primelement in $R$. Im zweiten Fall besitzt $L$ genau einen Restklassenkörper als einzigen nicht-trivialen Restklassenring, nämlich
\mathl{\Z/(p)}{.} Nach der in Aufgabe 9.15 bewiesenen Korrespondenz gibt es also genau ein Primideal ${\mathfrak p}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (p) }
{ \subseteq }{ {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {das dem Ideal $(\epsilon)$ im Restklassenring entspricht} {} {.} Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} }
{ = }{ (p, \epsilon) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {wobei hier $\epsilon$ ein Repräsentant in $R$ sei} {} {} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}^2 }
{ = }{ (p) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

Im dritten Fall besitzt $L$ zwei Restklassenkörper und damit zwei maximale Ideale, deren Durchschnitt, das zugleich deren Produkt ist, das Nullideal ist. Zurückübersetzt nach $R$ heißt das, dass es zwei verschiedene Primideale $\mathfrak p$ und $\mathfrak q$ gibt mit
\mathl{(p) \subset {\mathfrak p}, {\mathfrak q}}{} und mit
\mathl{(p) = {\mathfrak p} \cap {\mathfrak q}}{.} Nach Aufgabe 18.11 ist
\mathl{{\mathfrak p} \cap { \mathfrak q} = {\mathfrak p} \cdot { \mathfrak q}}{.} Mit
\mathl{(p) \subset {\mathfrak p}}{} ist auch
\mathl{(p) \subset \overline{ {\mathfrak p} }}{.} Wir zeigen, dass
\mathl{\overline{ {\mathfrak p} } = {\mathfrak q}}{} ist, d.h., dass die beiden Primideale über $p$ konjugiert vorliegen. Da nach Lemma 20.12 bei
\mathl{p {{|}} \triangle}{} der zweite Fall vorliegt, wissen wir, dass $p$ die Diskriminate nicht teilt.

Bei
\mathl{D=2,3 \mod 4}{} ist $p$ ungerade und $D$ ist ein Quadratrest modulo $p$. Seien $a$ und $-a$ die beiden verschiedenen \zusatzklammer {!} {} {} Quadratwurzeln modulo $p$. Dann werden die beiden Primideale durch
\mathl{(p, a \pm \sqrt{D})}{} beschrieben, und diese sind konjugiert.

Bei
\mathl{D=1 \mod 4}{} und $p$ ungerade ist nach der Bemerkung 20.11 über die explizite Beschreibung der Faserringe $D$ wieder ein Quadratrest modulo $p$. Seien $a$ und $-a$ die beiden verschiedenen \zusatzklammer {!} {} {} Quadratwurzeln von $D$ modulo $p$. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega - \frac{1}{2} }
{ = }{ \pm \frac{a}{2} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und daher sind die beiden Primideale gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( p, \omega \pm a -\frac{1}{2} \right) } }
{ = }{ { \left( p, \frac{a \pm \sqrt{D} }{2} \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} so dass wieder ein konjugiertes Paar vorliegt.

Bei
\mathl{D=1 \mod 4}{} und
\mathl{p=2}{} ist nach der Fakt
\mathl{D = 1 \mod 8}{.} Die Nullstellen des beschreibenden Polynoms sind dann $0$ und $1$. Daher sind die Primideale darüber gegeben durch
\mathl{(2, \omega)}{} und
\mathl{(2, \omega - 1)}{.} Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(2,\omega) }
{ = }{ { \left( 2, \frac{\sqrt{D}+1}{2} \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (2, \omega - 1) }
{ = }{ { \left( 2, \frac{\sqrt{D}+1}{2} - 1 \right) } }
{ = }{ { \left( 2, \frac{\sqrt{D}-1}{2} \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} so dass wieder ein konjugiertes Paar vorliegt.

}



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