Linear reduktive Gruppe/Endliche Gruppe/Satz von Maschke/Textabschnitt

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Die folgenden Aussagen heißen Lemma von Maschke bzw. Satz von Maschke.


Lemma  

Es sei ein Körper und eine endliche Gruppe, deren Ordnung kein Vielfaches der Charakteristik von sei. Es sei

eine Darstellung in einen endlichdimensionalen -Vektorraum und ein -invarianter Untervektorraum.

Dann gibt es einen -invarianten Untervektorraum mit .

Beweis  

Aufgrund des Basisergänzungssatzes kann man mit einem -Untervektorraum schreiben, und man hat eine Projektion (längs )

mit , wobei die Einbettung bezeichnet. Wir betrachten die lineare Abbildung (mit ; dies ist eine Einheit in )

Für ist (wegen und da auf die Identität ist)

und das Bild von ist gleich , d.h. ist ebenfalls eine Projektion auf . Allerdings ist diese Projektion zusätzlich -verträglich. Für ist nämlich

Wir setzen nun . Als Kern einer mit der Operation verträglichen linearen Abbildung ist nach Fakt ebenfalls -invariant, und es ist offenbar .



Satz  

Es sei ein Körper und eine endliche Gruppe, deren Ordnung kein Vielfaches der Charakteristik von sei.

Dann ist linear reduktiv.

Beweis  

Es sei

eine Darstellung von . Wir müssen zeigen, dass die Darstellung vollständig reduzibel ist, also eine direkte Summe aus irreduziblen Darstellungen ist. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von . Bei ist nichts zu zeigen. Wenn die Darstellung irreduzibel ist, so sind wir ebenfalls fertig. Andernfalls gibt es einen echten -invarianten Untervektorraum . Dieser hat nach Fakt ein -invariantes Komplement . Nach Induktionsvoraussetzung besitzen und eine direkte Zerlegung in irreduzible Darstellungen. Dies überträgt sich auf .