Linear reduktive Gruppe/Endliche Gruppe/Satz von Maschke/Textabschnitt

Die folgenden Aussagen heißen Lemma von Maschke bzw. Satz von Maschke.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}G$ eine endliche Gruppe, deren Ordnung kein Vielfaches der Charakteristik von ${}K$ sei. Es sei

$\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$

eine Darstellung in einen endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$ und ${}U\subseteq V$ ein ${}G$-invarianter Untervektorraum.

Dann gibt es einen ${}G$-invarianten Untervektorraum ${}W\subseteq V$ mit ${}V=U\oplus W$.

Beweis

Aufgrund des Basisergänzungssatzes kann man ${}V=U\oplus W'$ mit einem ${}K$-Untervektorraum ${}W'$ schreiben, und man hat eine Projektion (längs ${}W'$)

$\pi \colon V\longrightarrow U$

mit ${}\pi \circ \iota =\operatorname {Id} _{U}$, wobei ${}\iota$ die Einbettung ${}U\subseteq W$ bezeichnet. Wir betrachten die lineare Abbildung (mit ${}n=\operatorname {ord} {\left(G\right)}$; dies ist eine Einheit in ${}K$)

$\psi \colon V\longrightarrow V,\,v\longmapsto {\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}g^{-1}(\pi (g(v))).$

Für ${}u\in U$ ist (wegen $g(u)\in U$ und da ${}\pi$ auf ${}U$ die Identität ist)

${}{\begin{aligned}\psi (u)&={\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}g^{-1}(\pi (g(u)))\\&={\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}g^{-1}(g(u))\\&={\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}u\\&=u\end{aligned}}$

und das Bild von ${}\psi$ ist gleich ${}U$, d.h. ${}\psi$ ist ebenfalls eine Projektion auf ${}U$. Allerdings ist diese Projektion zusätzlich ${}G$-verträglich. Für ${}h\in G$ ist nämlich

${}{\begin{aligned}\psi (hv)&={\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}g^{-1}(\pi (g(hv)))\\&={\frac {1}{n}}\sum _{f\in G}(hf^{-1})(\pi (f(v)))\\&=h{\left({\frac {1}{n}}\sum _{f\in G}f^{-1}(\pi (f(v)))\right)}\\&=h{\left(\psi (v)\right)}.\end{aligned}}$

Wir setzen nun ${}W:=\operatorname {kern} \psi$. Als Kern einer mit der Operation verträglichen linearen Abbildung ist ${}W$ nach Fakt ebenfalls ${}G$-invariant, und es ist offenbar ${}V=U\oplus W$.

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Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}G$ eine endliche Gruppe, deren Ordnung kein Vielfaches der Charakteristik von ${}K$ sei.

Dann ist ${}G$ linear reduktiv.

Beweis

Es sei

$\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$

eine Darstellung von ${}G$. Wir müssen zeigen, dass die Darstellung vollständig reduzibel ist, also eine direkte Summe aus irreduziblen Darstellungen ist. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von ${}V$. Bei ${}\dim _{K}{\left(V\right)}=0,1$ ist nichts zu zeigen. Wenn die Darstellung irreduzibel ist, so sind wir ebenfalls fertig. Andernfalls gibt es einen echten ${}G$-invarianten Untervektorraum ${}U\subset V$. Dieser hat nach Fakt ein ${}G$-invariantes Komplement ${}W\subseteq V$. Nach Induktionsvoraussetzung besitzen ${}U$ und ${}W$ eine direkte Zerlegung in irreduzible Darstellungen. Dies überträgt sich auf ${}V$.

$\Box$