Lineare Abbildung/Beispiele/Einführung/Textabschnitt

Zwischen zwei Vektorräumen interessieren insbesondere die Abbildungen, die mit den Strukturen, also der Addition und der Skalarmultiplikation, verträglich sind.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Eine Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

1. ${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle ${}u,v\in V$.
2. ${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle ${}s\in K$ und ${}v\in V$.

Die erste Eigenschaft nennt man dabei die Additivität und die zweite Eigenschaft die Verträglichkeit mit Skalierung. Wenn man den Grundkörper betonen möchte, spricht man von Linearität. Insgesamt gilt für eine lineare Abbildung die Verträglichkeit mit beliebigen Linearkombinationen, also die Beziehung

${}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi (v_{i})\,,$

siehe Aufgabe.

Statt von linearen Abbildungen spricht man auch von Homomorphismen. Die Identität ${}\operatorname {Id} _{V}\colon V\rightarrow V$, die Nullabbildung ${}V\rightarrow 0$ und die Inklusionen ${}U\subseteq V$ von Untervektorräumen sind die einfachsten Beispiele für lineare Abbildungen.

Der Funktionsgraph einer linearen Abbildung von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$, die Abbildung ist allein durch den Proportionalitätsfaktor ${}k$ festgelegt.

Beispiel

Die einfachsten linearen Abbildungen sind (neben der Nullabbildung) diejenigen von ${}K$ nach ${}K$. Eine solche lineare Abbildung

$\varphi \colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \varphi (x),$

ist aufgrund von Fakt (siehe unten) bzw. direkt aufgrund der Definition durch ${}\varphi (1)$ bzw. durch den Wert ${}\varphi (t)$ für ein einziges ${}t\in K$, ${}t\neq 0$, festgelegt. Es ist also ${}\varphi (x)=ax$ mit einem eindeutig bestimmten ${}a\in K$. Insbesondere im physikalischen Kontext, wenn ${}K=\mathbb {R}$ ist und wenn zwischen zwei messbaren Größen ein linearer Zusammenhang besteht, spricht man von Proportionalität, und ${}a$ heißt der Proportionalitätsfaktor. In der Schule tritt die lineare Beziehung zwischen zwei skalaren Größen als „Dreisatz“ auf.

Viele wichtige Funktionen, insbesondere von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$, sind nicht linear. Beispielsweise ist das Quadrieren ${}x\mapsto x^{2}$, die Quadratwurzel, die trigonometrischen Funktionen, die Exponentialfunktion, der Logarithmus nicht linear. Aber auch für solche kompliziertere Funktionen gibt es im Rahmen der Differentialrechnung lineare Approximationen, die zum Verständnis dieser Funktionen beitragen.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K^{n}$ der ${}n$-dimensionale Standardraum. Dann ist die ${}i$-te Projektion, also die Abbildung

$K^{n}\longrightarrow K,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{i-1},\,x_{i},\,x_{i+1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto x_{i},$

eine ${}K$-lineare Abbildung. Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die ${}i$-te Projektion heißt auch die ${}i$-te Koordinatenfunktion.

Wenn Sie das zehnmal kaufen, müssen Sie zehnmal soviel zahlen. In der linearen Welt gibt es keinen Rabatt.

Beispiel

Es stehen ${}n$ verschiedene Produkte zum Verkauf an, wobei das ${}i$-te Produkt (pro Einheit) ${}a_{i}$ kostet. Ein Einkauf wird durch das ${}n$-Tupel

$\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$

repräsentiert, wobei ${}x_{i}$ die vom ${}i$-ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch ${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}$ beschrieben. Die Preisabbildung

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}.$

ist linear. Dies bedeutet beispielsweise, dass wenn man zuerst den Einkauf ${}\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ tätigt und eine Woche später den Einkauf ${}\left(y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n}\right)$, dass dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag ${}\left(x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2},\,\ldots ,\,x_{n}+y_{n}\right)$ gekauft hätte.

Beispiel

Die zu einer ${}m\times n$-Matrix ${}M=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}$ gehörende Abbildung (siehe Beispiel)

$K^{n}\longrightarrow K^{m},\,{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto M{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1j}s_{j}\\\sum _{j=1}^{n}a_{2j}s_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{mj}s_{j}\end{pmatrix}},$

ist linear.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Zu ${}a\in K$ heißt die lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V,\,v\longmapsto av,$

die Streckung (oder Homothetie) zum Streckungsfaktor ${}a$.

Bei einer Streckung stimmen Ausgangsraum und Zielraum überein. Die Zahl ${}a$ heißt Streckungsfaktor. Bei ${}a=1$ liegt die Identität vor und bei ${}a=-1$ spricht man von einer Punktspiegelung.

Beispiel

Es sei ${}C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ der Raum der stetigen Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ und ${}C^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ der Raum der stetig differenzierbaren Funktionen. Dann ist die Abbildung

$D\colon C^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f',$

die einer Funktion ihre Ableitung zuordnet, linear. In der Analysis wird ja

${}(af+bg)'=af'+bg'\,$

für ${}a,b\in \mathbb {R}$ und eine weitere Funktion ${}g\in C^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ bewiesen.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,W$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

$\varphi :U\longrightarrow V\,\,{\text{ und }}\,\,\psi :V\longrightarrow W$

lineare Abbildungen.

Dann ist auch die Verknüpfung

$\psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$-Vektorräume. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine bijektive lineare Abbildung.

Dann ist auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon W\longrightarrow V$

linear.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$