Lineare Abbildungen/Matrizen/Beziehungen/2/Textabschnitt

Die Wirkungsweise von verschiedenen linearen Abbildungen des ${}\mathbb {R} ^{2}$ in sich, dargestellt an einer Gehirnzelle.

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

ist durch die Bilder ${}\varphi (e_{j})$, ${}j=1,\ldots ,n$, der Standardvektoren eindeutig festgelegt, und jedes ${}\varphi (e_{j})$ ist eine Linearkombination

${}\varphi (e_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}e_{i}\,$

und damit durch die Elemente ${}a_{ij}$ eindeutig festgelegt. Insgesamt ist also eine solche lineare Abbildung durch ${}mn$ Elemente ${}a_{ij}$, ${}1\leq i\leq m$, ${}1\leq j\leq n$, festgelegt. Eine solche Datenmenge kann man wieder als Matrix schreiben. Nach dem Festlegungssatz gilt dies für alle endlichdimensionalen Vektorräume, sobald sowohl im Definitionsraum als auch im Zielraum der linearen Abbildung eine Basis fixiert ist.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$.

Zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt die ${}m\times n$-Matrix

${}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,,$

wobei ${}a_{ij}$ die ${}i$-te Koordinate von ${}\varphi (v_{j})$ bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ ist, die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Basen.

Zu einer Matrix ${}M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ heißt die durch

$v_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}$

gemäß Fakt definierte lineare Abbildung ${}\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$ die durch ${}M$ festgelegte lineare Abbildung.

Wenn ${}V=W$, ist, so interessiert man sich häufig, aber nicht immer, für die beschreibende Matrix bezüglich einer einzigen Basis ${}{\mathfrak {v}}$ von ${}V$.

Beispiel

Es sei ${}V$ ein Vektorraum mit Basen ${}{\mathfrak {v}}$ und ${}{\mathfrak {w}}$. Wenn man die Identität

$\operatorname {Id} \colon V\longrightarrow V$

bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ vorne und der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ hinten betrachtet, so ist wegen

${}\operatorname {Id} (v_{j})=v_{j}=\sum a_{ij}w_{i}\,$

direkt

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\operatorname {Id} )=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}\,,$

d.h. die beschreibende Matrix zur identischen linearen Abbildung ist die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {w}}$.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ mit den zugehörigen Abbildungen

$\Psi _{\mathfrak {v}}\colon K^{n}\longrightarrow V$

und

$\Psi _{\mathfrak {w}}\colon K^{m}\longrightarrow W.$

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung mit beschreibender Matrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$.

Dann ist

${}\varphi \circ \Psi _{\mathfrak {v}}=\Psi _{\mathfrak {w}}\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\,,$

d.h. das Diagramm

${\begin{matrix}K^{n}&{\stackrel {\Psi _{\mathfrak {v}}}{\longrightarrow }}&V&\\\!\!\!\!\!M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\downarrow &&\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\K^{m}&{\stackrel {\Psi _{\mathfrak {w}}}{\longrightarrow }}&W&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

ist kommutativ.

Zu einem Vektor ${}v\in V$ kann man ${}\varphi (v)$ ausrechnen, indem man das Koeffiziententupel zu ${}v$ bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ bestimmt, darauf die Matrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ anwendet und zu dem sich ergebenden ${}m$-Tupel den zugehörigen Vektor bezüglich ${}{\mathfrak {w}}$ berechnet.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$.

Dann sind die in Definition festgelegten Abbildungen

$\varphi \longmapsto M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ){\text{ und }}M\longmapsto \varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$

invers zueinander.

Beweis

Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ und betrachten die Matrix

$M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)).$

Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar ${}(i,j)$ die Einträge übereinstimmen. Es ist

${}{\begin{aligned}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)))_{ij}&=i-{\text{te Koordinate von }}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M))(v_{j})\\&=i-{\text{te Koordinate von }}\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}\\&=a_{ij}.\end{aligned}}$

Es sei nun ${}\varphi$ eine lineare Abbildung, und betrachten wir

$\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )).$

Zwei lineare Abbildungen stimmen nach Fakt überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ übereinstimmen. Es ist

${}(\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )))(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))_{ij}\,w_{i}\,.$

Dabei ist nach Definition der Koeffizient ${}(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))_{ij}$ die ${}i$-te Koordinate von ${}\varphi (v_{j})$ bezüglich der Basis ${}w_{1},\ldots ,w_{m}$. Damit ist diese Summe gleich ${}\varphi (v_{j})$.

$\Box$

Wir bezeichnen die Menge aller linearen Abbildungen von ${}V$ nach ${}W$ mit ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$. Fakt bedeutet also, dass die Abbildung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times n}(K),\,\varphi \longmapsto M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ),$

bijektiv mit der angegebenen Umkehrabbildung ist. Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

nennt man auch einen Endomorphismus. Die Menge aller Endomorphismen auf ${}V$ wird mit ${}\operatorname {End} _{K}{\left(V\right)}$ bezeichnet.