Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Es sei $M$ eine Menge, $𝒫$ ein Präring auf $M$ und

   $\mu :𝒫⟶{\overline{ℝ}}_{\ge 0}$

   ein äußeres Maß auf $M$. Dann ist die Fortsetzung $\tilde{\mu }$ des äußeren Maßes $\mu$ ein äußeres Maß auf der Potenzmenge

   $𝔓(M)$, das auf $𝒫$ mit $\mu$ übereinstimmt.
2. Es sei $(M,𝒜)$ ein Messraum und sei

   $f:M⟶{\overline{ℝ}}_{\ge 0}$

   eine messbare numerische nichtnegative Funktion.

   Dann gibt es eine wachsende Folge von nichtnegativen einfachen Funktionen

   $f_n:M⟶{ℝ}_{\ge 0},$

   die punktweise gegen $f$

   konvergieren.
3. Es sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und  $T\subseteq C(X,𝕂)$,  versehen mit der Maximumsnorm. Dann ist $T$ genau dann kompakt, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.
   1. $T$ ist abgeschlossen.
   2. $T$ ist gleichgradig stetig.
   3. Für jeden Punkt  $x\in X$  ist das Auswertungsbild $\{f(x)\mid f\in T\}$ beschränkt.

Zur gelösten Aufgabe