Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$ und

   $\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   ein äußeres Maß auf ${}M$. Dann ist die Fortsetzung ${}{\tilde {\mu }}$ des äußeren Maßes ${}\mu$ ein äußeres Maß auf der Potenzmenge

   ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$, das auf ${}{\mathcal {P}}$ mit ${}\mu$ übereinstimmt.
2. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   eine messbare numerische nichtnegative Funktion.

   Dann gibt es eine wachsende Folge von nichtnegativen einfachen Funktionen

   $f_{n}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},$

   die punktweise gegen ${}f$

   konvergieren.
3. Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und ${}T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$, versehen mit der Maximumsnorm. Dann ist ${}T$ genau dann kompakt, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.
   1. ${}T$ ist abgeschlossen.
   2. ${}T$ ist gleichgradig stetig.
   3. Für jeden Punkt ${}x\in X$ ist das Auswertungsbild ${}{\left\{f(x)\mid f\in T\right\}}$ beschränkt.

Zur gelösten Aufgabe