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Maßtheorie und Mannigfaltigkeiten/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

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  1. Es sei ein -endlicher Maßraum und es sei

    eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Dann gilt

  2. Für eine messbare Funktion

    ist genau dann integrierbar auf , wenn die Hintereinanderschaltung auf integrierbar ist. In diesem Fall gilt

    wobei die Determinante des totalen Differentials bezeichnet.
  3. Es seien offene Teilmengen, deren Koordinaten mit bzw. mit bezeichnet seien. Es sei

    eine differenzierbare Abbildung und es sei eine -Differentialform auf mit der Darstellung

    Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung

  4. Es sei eine -dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei eine stetig differenzierbare -Differentialform mit kompaktem Träger auf . Dann ist