Es sei
, ,
eine
offene Überdeckung
von mit
orientierten Karten
und es sei
, ,
eine dieser
Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins,
die nach
Fakt
existiert. Zu jedem
gibt es eine offene Umgebung
derart, dass
bis auf endlich viele Ausnahmen ist. Es sei der Träger von . Die Überdeckung
besitzt wegen der vorausgesetzten
Kompaktheit
eine endliche Teilüberdeckung, sagen wir
-
Daher sind überhaupt nur endlich viele der auf von verschieden. Wir setzen
;
diese Differentialformen sind ebenfalls stetig differenzierbar. Der Träger von ist eine in
abgeschlossene Teilmenge,
die in liegt, daher liegt der Träger von in und ist selbst kompakt nach
Aufgabe.
Es gilt
-
wobei nur endlich viele dieser Differentialformen von verschieden sind, da
für alle ist und
-
für alle bis auf endlich viele Ausnahmen. Wegen der
Additivität des Integrals von Differentialformen
und der
Additivität der äußeren Ableitung
kann man die Aussage für die einzelnen getrennt beweisen. Wir können also annehmen, dass eine stetig differenzierbare -Differentialform gegeben ist, die kompakten Träger besitzt, der ganz in einer Kartenumgebung liegt.
Es liegt ein
Diffeomorphismus
mit
offen vor, der zugleich einen Diffeomorphismus zwischen den Rändern
und
induziert. Dabei gilt
-
und
-
nach
Fakt (5). Wir können also von einer auf
definierten stetig differenzierbaren Differentialform mit kompaktem Träger ausgehen, die wir auf ganz außerhalb des Trägers als Nullform fortsetzen können.
Wegen der Kompaktheit des Trägers gibt es einen hinreichend großen Quader
,
dessen eine Seite auf liegt und der den Träger von nur in trifft. Auf allen anderen Seiten von ist
(und damit auch )
die Nullform. Daher gilt einerseits
-
und andererseits
-
Somit folgt die Aussage
aus der
Quaderversion des Satzes von Stokes.