Monoidring/Normalisierung/Eigenschaften dafür/Textabschnitt

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Definition  

Ein kommutatives Monoid heißt torsionsfrei, wenn für aus für eine positive Zahl stets folgt.



Satz  

Sei ein Integritätsbereich und sei ein torsionsfreies kommutatives Monoid, das die Kürzungsregel erfüllt.

Dann ist der Monoidring ein Integritätsbereich.

Beweis  

Zunächst ist , wobei die Differenzengruppe zu bezeichnet. Damit ist ein Unterring, und es genügt die Aussage für zu beweisen. Da torsionsfrei ist, ist nach Aufgabe auch torsionsfrei. Wir können also annehmen, dass eine torsionsfreie kommutative Gruppe ist. Sei nun

Da hier fast alle Koeffizienten sind, spielt sich dies in einer endlich erzeugten Untergruppe der torsionsfreien Gruppe ab. Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte torsionsfreie kommutative Gruppen ist dann . Wir können also sogar annehmen. Dann ist aber eine Nenneraufnahme eines Polynomringes über einem Integritätsbereich und damit integer.


Für ein Monoid ohne Kürzungsregel kann der zugehörige Monoidring über einem Integritätsbereich Nullteiler besitzen.


Beispiel  

Sei ein Monoid, in dem es zwei verschiedene Elemente und gebe mit . Daraus folgt ohne die Kürzungsregel eben nicht . Im Monoidring über einem beliebigen Integritätsbereich ist und , aber



Definition  

Sei ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe . Dann heißt das Untermonoid

die Normalisierung von .



Satz  

Sei ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe und mit Normalisierung , . Sei ein normaler Integritätsbereich.

Dann ist die Normalisierung des Monoidringes der Monoidring .

Insbesondere ist der Monoidring zu einem normalen Monoid über einem normalen Ring selbst wieder normal.

Beweis  

Zunächst ist

Sei mit , und mit ( mal). Damit ist ein Element im Quotientenkörper und nach der zweiten Eigenschaft ist . Dies bedeutet, dass eine (reine) Ganzheitsgleichung für vorliegt und damit zur Normalisierung von gehört. Somit gilt . Für die Umkehrung kann man durch ersetzen und sich somit auf den Fall beschränken, wo normal ist. Man beweist zuerst, dass für eine torsionsfreie kommutative Gruppe der Gruppenring normal ist, was daraus folgt, dass der Polynomring über einem normalen Bereich wieder normal ist. Dann muss man zeigen, dass in ganz-abgeschlossen ist. Ein Element und eine Ganzheitsgleichung dafür lebt im Monoidring zu einer endlich erzeugten Untergruppe , so dass man annehmen darf.

Hier kommt nun etwas konvexe Geometrie ins Spiel, was wir nicht ausführen. Jedenfalls lässt sich ein normales Untermonoid als der Durchschnitt (innerhalb von oder ) von und einem polyedrischen Kegel darstellen. Ein solcher Kegel ist selbst wiederum der Durchschnitt von endlich vielen Halbräumen (Lemma von Gordan). Dabei ist ein Halbraum durch eine lineare Abbildung mit gegeben. Daraus folgt, dass ein endlicher Durchschnitt mit ist. Daraus ergibt sich, dass die eine Form haben. Damit ist nach Aufgabe normal, da die einzelnen normal sind.



Beispiel  

Whitney unbrella.png

Wir betrachten die algebraische Fläche, die durch die Gleichung

gegeben ist. Wir wollen sie als die Fläche zu einem Monoidring verstehen. Dazu sei

Wegen ist das Quotientengitter (Differenzengruppe). Da ist, muss die Normalisierung von sein. Die drei Erzeuger ergeben einen surjektiven Monoidhomomorphismus

Diese monomiale Abbildung bedeutet geometrisch die Abbildung

Dabei gehen (monomial gesehen) und beide auf das Element , und das liefert die Gleichung , die man natürlich auch direkt ablesen kann.

Man kann die definierende Gleichung auch als ansehen. Von ausgehend wird also ein Quadrat zu adjungiert.



Beispiel  

Wir betrachten das durch und erzeugte Untermonoid . Für den zugehörigen Monoidring gilt . Wir behaupten, dass das Monoid normal ist, also mit seiner Normalisierung übereinstimmt. Die beiden Erzeuger und definieren je eine Gerade in , und das Monoid besteht aus allen Gitterpunkten (Punkte im ) innerhalb des durch diese Geraden definierten Kegels. Dies sieht man so: Die Gitterpunkte in diesem Kegel sind durch die beiden Bedingungen

gegeben. Ein Punkt daraus mit gehört offensichtlich zu . Sei also ein Punkt daraus mit . Wegen der zweiten linearen Bedingung kann man

schreiben, was wegen zu gehört.

Mit den zwei Geraden lässt sich auch sofort als beschreiben, mit und , wobei die zweite Identifizierung von der -Basis herrührt. Aus dieser expliziten Beschreibung folgt, dass der zugehörige Monoidring normal ist.