Offene Menge/C/Logarithmus/Potenzfunktion/Einführung/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit ${}0\notin U$ und sei ${}L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist

   ${}L'(z)={\frac {1}{z}}\,,$

   d.h. ${}L$ ist eine Stammfunktion zu ${}{\frac {1}{z}}$.

2. Es ist

   ${}\exp \left(L(z)\right)=az\,$

   (mit einer Konstanten ${}a\neq 0$) auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von ${}U$.

3. Es ist

   ${}L(\exp z)=z+b\,$

   auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von ${}\exp ^{-1}(U)$ (mit einer Konstanten ${}b$).

Beweis

Von (1) nach (2). Es sei ${}L'(z)={\frac {1}{z}}$, wobei ${}L+c$ die gleiche Eigenschaft besitzt. Wir betrachten die Bedingung

${}e^{L(z)+c}=e^{L(z)}e^{c}=z\,.$

Für einen beliebigen Punkt ${}z_{0}\in U$ legt diese über

${}e^{c}=z_{0}e^{-L(z_{0})}\,$

ein (nicht eindeutiges) ${}c_{0}$ fest. Es gilt dann

${}{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'={\frac {1}{z}}\cdot e^{L(z)+c_{0}}\,$

und

${}{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}^{\prime \prime }={\frac {1}{z^{2}}}{\left(z{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'-e^{L(z)+c_{0}}\right)}={\frac {1}{z^{2}}}{\left({\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}-e^{L(z)+c_{0}}\right)}=0\,.$

Also ist

${}{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'={\frac {1}{z}}\cdot e^{L(z)+c_{0}}=d\,$

konstant auf jeder offenen zusammenhängenden Umgebung von ${}z_{0}$ und damit ist

${}e^{L(z)+c_{0}}=dz\,$

und wegen der durch ${}z_{0}$ festgelegten Bedingung ist ${}d=1$. Von (2) nach (1). Wenn

${}\exp \left(L(z)\right)=az\,$

gilt, so ist

${}\exp \left(L(z)\right)\cdot L'(z)=a\,.$

Also ist

${}az\cdot L'(z)=a\,$

und damit

${}L'(z)={\frac {1}{z}}\,.$

Von (1) nach (3). Wenn

${}L'(z)={\frac {1}{z}}\,$

ist, so ist die Ableitung von ${}L(\exp z)$ gleich

${}L'(\exp z)\cdot \exp z={\frac {1}{\exp z}}\cdot \exp z=1\,.$

Also ist

${}L(\exp z)=z+b\,$

mit ${}b\in {\mathbb {C} }$ auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von ${}\exp ^{-1}(U)$. Von (3) nach (1). Wenn

${}L(\exp z)=z+b\,$

gilt, so ergibt sich durch ableiten

${}L'(\exp z)\cdot \exp z=1\,,$

also

${}L'(\exp z)={\frac {1}{\exp z}}\,.$

Da die Exponentialfunktion alle Werte ${}\neq 0$ annimmt, ist

${}L'(w)={\frac {1}{w}}\,.$

$\Box$

Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine einfach zusammenhängende offene Menge mit ${}0\notin U$.

Dann gibt es eine holomorphe Funktion ${}L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit

1. Es ist

   ${}L'(z)={\frac {1}{z}}\,,$

   d.h. ${}L$ ist eine Stammfunktion zu ${}{\frac {1}{z}}$.

2. Es ist

   ${}\exp \left(L(z)\right)=z\,.$

3. Es ist

   ${}L(\exp z)=z\,$

   auf einer offenen nichtleeren Teilmenge von ${}\exp ^{-1}(U)$.

Beweis

Auf ${}U$ ist die komplexe Invertierung ${}{\frac {1}{z}}$ definiert und besitzt dort nach Fakt eine Stammfunktion ${}L(z)$, die bis auf eine Konstante ${}c$ eindeutig bestimmt ist. Nach Fakt gilt

${}\exp \left(L(z)\right)=az\,$

mit ${}a\neq 0$. Es sei

${}\exp c=a^{-1}\,.$

Dann besitzt ${}{\tilde {L}}=L+c$ nach wie vor die Ableitungseigenschaft und es gilt

${}\exp \left({\tilde {L}}(z)\right)=\exp \left(L(z)+c\right)=az\cdot a^{-1}=z\,.$

Wir bezeichnen das modifizierte ${}{\tilde {L}}$ wieder mit ${}L$. Es sei ${}z_{0}\in U$ und ${}w_{0}=L(z_{0})$, wegen der Eigenschaft (2) gilt

${}\exp w_{0}=z_{0}\,.$

Somit gilt auch

${}L(\exp \left(w_{0}\right))=L(z_{0})=w_{0}\,.$

Es sei ${}w_{0}\in V\subseteq \exp ^{-1}(U)$ ein Gebiet, nach Fakt gilt darauf

${}L(\exp w)=w+b\,$

für ein ${}b$ und wegen dem Punktepaar muss ${}b=0$ sein.

$\Box$

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge. Eine holomorphe Funktion ${}L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ heißt Logarithmus, wenn sie

${}\exp \left(L(z)\right)=z\,$

für alle ${}z\in U$ erfüllt.

Damit ist ein Logarithmus nur bis Verschiebung mit ${}n2\pi {\mathrm {i} }$ bestimmt, bei ${}1\in U$ fordert man häufig noch ${}L(1)=0$. Wenn ${}U={\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R} _{-}$ nennt man diesen den Hauptzweig des Logarithmus.

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit ${}0\notin U$ und sei ${}L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ ein Logarithmus. Dann nennt man zu ${}a\in {\mathbb {C} }$ die Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit

${}f(z):=\exp \left(a\cdot L(z)\right)\,$

die Potenzfunktion zum Exponenten ${}a$ (bezüglich ${}L$).

Diese Bezeichnung verwendet man hauptsächlich für den Hauptzweig des Logarithmus.