Polynome/Körper/Division mit Rest/2/Textabschnitt

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Satz  

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es seien Polynome mit .

Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome mit

Beweis  

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den Grad von . Wenn der Grad von größer als der Grad von ist, so ist und eine Lösung, so dass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei ist nach der Vorbemerkung auch , also ist ein konstantes Polynom, und damit ist (da und ein Körper ist) und eine Lösung. Sei nun und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben und mit . Dann gilt mit die Beziehung

Dieses Polynom hat einen Grad kleiner als und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt und mit

Daraus ergibt sich insgesamt

so dass also und eine Lösung ist. Zur Eindeutigkeit sei mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist . Da die Differenz einen Grad kleiner als besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei und lösbar.


Die Berechnung der Polynome und heißt Polynomdivision. Wir geben dazu ein Beispiel über den komplexen Zahlen.


Beispiel  

Wir führen die Polynomdivision

aus. Das Inverse zu ist und daher ist

Daher beginnt mit und es ist

Dies muss man nun von abziehen und erhält

Auf dieses Polynom (nennen wir es ) wird das gleiche Verfahren angewendet. Man berechnet

Daher ist der konstante Term von gleich und es ergibt sich

Dies ziehen wir von ab und erhalten

Dies ist der Rest , die vollständige Division mit Rest ist also




Lemma  

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Sei ein Polynom und .

Dann ist genau dann eine Nullstelle von , wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.

Beweis  

Wenn ein Vielfaches von ist, so kann man

mit einem weiteren Polynom schreiben. Einsetzen ergibt

Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung

wobei oder aber den Grad besitzt, also eine Konstante ist. Einsetzen ergibt

Wenn also ist, so muss der Rest sein, und das bedeutet, dass ist.




Korollar  

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Sei ein Polynom () vom Grad .

Dann besitzt maximal Nullstellen.

Beweis  

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über . Für ist die Aussage offensichtlich richtig. Sei also und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Sei eine Nullstelle von (falls keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig), Dann ist nach Fakt und hat den Grad , so dass wir auf die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom hat also maximal Nullstellen. Für gilt . Dies kann nur dann sein, wenn einer der Faktoren ist, so dass eine Nullstelle von gleich ist oder aber eine Nullstelle von ist. Es gibt also maximal Nullstellen von .



Korollar

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über .

Dann besitzt jedes eine Produktzerlegung

mit und einem nullstellenfreien Polynom .

Dabei sind die auftretenden verschiedenen Zahlen und die zugehörigen Exponenten (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmt.

Beweis

Siehe Aufgabe.

Es gilt allgemeiner, dass die Zerlegung eines Polynoms in irreduzible Faktoren im Wesentlichen eindeutig ist.