Projektive ebene Kurve/Parametrisierung/Textabschnitt

Satz

Es sei

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\supseteq D(\psi )\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,s\longmapsto {\left({\frac {\varphi _{1}(s)}{\psi (s)}},{\frac {\varphi _{2}(s)}{\psi (s)}}\right)},$

eine rationale Parametrisierung in gekürzter (d.h. die $\varphi _{1},\varphi _{2},\psi$ haben keinen gemeinsamen Teiler) Darstellung. Es sei ${}d$ der maximale Grad der beteiligten Polynome und es seien ${}{\hat {\varphi _{1}}},{\hat {\varphi _{2}}},{\hat {\psi }}$ die Homogenisierungen (bezüglich der neuen Variablen ${}t$) davon. Es seien ${}H_{i}$ die Produkte dieser Homogenisierungen mit einer Potenz von ${}t$ derart, dass ${}H_{1},H_{2},H_{3}$ alle den Grad ${}d$ besitzen.

Dann definieren die ${}H_{1},H_{2},H_{3}$ einen Morphismus

$H\colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(s,t)\longmapsto \left(H_{1}(s,t),\,H_{2}(s,t),\,H_{3}(s,t)\right),$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}{\mathbb {A} }_{K}^{1}\supseteq D(\psi )&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathbb {A} }_{K}^{2}\cong D_{+}(Z)&\\\downarrow &&\downarrow &\\{\mathbb {P} }_{K}^{1}&{\stackrel {H}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{2}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutativ ist.

Dabei liegt das Bild unter ${}H$ auf dem projektiven Abschluss der affinen Bildkurve.

Beweis

Die Abbildung ${}H$ ist aufgrund von Aufgabe wohldefiniert, und zwar auf ganz ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$, da ${}\varphi _{1},\varphi _{2},\psi$ insgesamt teilerfremd sind. Zur Kommutativität muss man lediglich beachten, dass ${}s\in D(\psi )\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ einerseits über ${}(s,1)$ auf

${}(H_{1}(s,1),H_{2}(s,1),H_{3}(s,1))=\left(\varphi _{1}(s),\,\varphi _{2}(s),\,\psi (s)\right)\,$

abgebildet wird und andererseits auf

${}{\left({\frac {\varphi _{1}(s)}{\psi (s)}},{\frac {\varphi _{2}(s)}{\psi (s)}},1\right)}=\left(\varphi _{1}(s),\,\varphi _{2}(s),\,\psi (s)\right)\,.$

Für den Zusatz sei ${}C$ der affine Abschluss des Bildes und ${}{\bar {C}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ der projektive Abschluss davon. Wir betrachten das offene Komplement ${}U={\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus {\bar {C}}$. Da die Abbildung stetig ist, ist das Urbild ${}H^{-1}(U)$ offen in ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$, und es kann nur Punkte aus ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}\setminus D(\psi )$ enthalten. Eine endliche und offene Teilmenge der projektiven Geraden muss aber leer sein.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom in einer Variablen vom Grad ${}d\geq 1$.

Dann wird der projektive Abschluss ${}C$ des Graphen ${}V(Y-F(X))$ durch ${}V{\left(YZ^{d-1}-{\hat {F}}(X,Z)\right)}$ beschrieben, wobei ${}{\hat {F}}(X,Z)$ die Homogenisierung von ${}F$ bezeichnet. Dabei gibt es in ${}C$ bei ${}d=1$ (mit $F=aX+b$) noch den glatten Punkt ${}(1,a,0)$ und bei ${}d\geq 2$ noch den Punkt ${}(0,1,0)$, der bei ${}d\geq 3$ singulär ist.

Bei ${}d\geq 2$ besitzt der Punkt im Unendlichen die Multiplizität ${}d-1$.

Beweis

Die Gleichung für den projektiven Abschluss folgt direkt aus Fakt. Den Schnitt von ${}C$ mit der projektiven Geraden ${}V_{+}(Z)$ im Unendlichen erhält man, wenn man in der Gleichung ${}Z=0$ setzt. Bei ${}d=1$ liegt insgesamt die Geradengleichung ${}V_{+}(Y-aX-bZ)$ vor, und der Schnitt mit ${}V_{+}(Z)$ legt den einzigen Punkt ${}(1,a,0)$ fest. Bei ${}d\geq 2$ liegt die Kurvengleichung

$V_{+}{\left(YZ^{d-1}-s_{d}X^{d}-s_{d-1}X^{d-1}Z-\cdots -s_{0}Z^{d}\right)}$

mit ${}s_{d}\neq 0$ vor. Setzt man ${}Z=0$, so bleibt ${}V_{+}(-s_{d}X^{d})$ übrig, woraus ${}X=0$ folgt. Dies entspricht dem einzigen unendlich fernen Punkt ${}(0,1,0)$.

Für die Multiplizität betrachtet man die affine Gleichung der Kurve auf ${}D_{+}(Y)$. D.h. man setzt ${}Y=1$ und erhält die affine Gleichung

$V{\left(Z^{d-1}-s_{d}X^{d}-s_{d-1}X^{d-1}Z-\cdots -s_{0}Z^{d}\right)},$

und der Punkt ist in diesen Koordinaten der Nullpunkt. Daher ist die Multiplizität gleich ${}d-1$ mit der einzigen durch ${}Z=0$ gegebenen Tangente. Bei ${}g\geq 3$ ist die Multiplizität ${}\geq 2$ und daher liegt ein singulärer Punkt vor.

$\Box$

Dieser Satz ist so zu verstehen, dass bei ${}d\geq 2$ die ${}y$-Achse (dafür steht der Punkt $(0,1,0)$) „asymptotisch“ zum Graphen gehört (und auch die einzige Asymptote des Graphen ist). Die unendlich ferne Gerade ${}V_{+}(Z)$ ist die (einzige) Tangente an diesem Punkt. Die Normalisierung von ${}C$ ist der ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$, und zwar ist die Normalisierungsabbildung nach Fakt, angewendet auf die affine Parametrisierung des Graphen

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}={\mathbb {A} }_{K}^{2}\cong D_{+}(Z)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,x\longmapsto (x,F(x))=(x,F(x),1),$

durch

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(x,t)\longmapsto (xt^{d-1},{\hat {F}}(x,t),t^{d})$

gegeben. Dabei geht der unendlich ferne Punkt ${}(1,0)$ auf ${}(0,s_{d},0)=(0,1,0)$.

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}G,H\in K[X]$ Polynome in einer Variablen vom Grad ${}d,e\geq 1$ ohne gemeinsame Nullstelle. Es sei ${}H\neq 0$ und sei ${}F(X)=G(X)/H(X)$ die zugehörige rationale Funktion. Es seien ${}{\hat {G}}(X,Z)$ und ${}{\hat {H}}(X,Z)$ die zugehörigen Homogenisierungen

Dann wird der projektive Abschluss ${}C$ des Graphen von ${}F(X)$ bei ${}d>e$ durch

$V_{+}{\left({\hat {H}}(X,Z)YZ^{d-e-1}-{\hat {G}}(X,Z)\right)}$

und bei ${}d\leq e$ durch

$V_{+}{\left({\hat {H}}(X,Z)Y-{\hat {G}}(X,Z)Z^{e-d+1}\right)}$

beschrieben.

Beweis

Die affine Beschreibung der Kurve ist ${}V(YH-G)$. Nach Fakt wird der projektive Abschluss durch die Homogenisierung von ${}YH-G$ beschrieben. Für diese ist der maximale Grad von $YH$ und $G$ ausschlaggebend, der Summand mit kleinerem Grad muss durch eine geeignete Potenz von ${}Z$ „aufgefüllt“ werden. Dies ergibt die angegebenen Gleichungen.

$\Box$