Quadratische Form/Modul/Cauchy-Schwarz/Einführung/Textabschnitt

Aus der linearen Algebra ist die Abschätzung von Cauchy-Schwarz bekannt.

Satz

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$.

Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich

${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$

für alle ${}v,w\in V$.

Beweis

Bei ${}w=0$ ist die Aussage richtig. Es sei also ${}w\neq 0$ und damit auch ${}\Vert {w}\Vert \neq 0$. Damit hat man die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}0&\leq \left\langle v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w,v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle w,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{4}}}\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}.\end{aligned}}$

Multiplikation mit ${}\Vert {w}\Vert ^{2}$ und Wurzelziehen ergibt das Resultat.

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Skalarprodukte sind positive definite Bilinearformen auf einen reellen oder komplexen Vektorraum. Nach der Polarisationsformel ist allgemeiner eine symmetrische Bilinearform bereits durch die Werte ${}\left\langle v,v\right\rangle$ festgelegt, die Zuordnung

$V\longrightarrow \left\langle v,v\right\rangle$

heißt die zugehörige quadratische Form. Diese Konzepte kann man auch für kommutative Gruppen und allgemeiner Moduln über einem kommutativen Ring entwickeln, ein klassischer Gegenstand sind quadratische Formen auf ${}\mathbb {Z} ^{2}$, siehe Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 28.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine quadratische Form auf einem ${}R$-Modul ${}L$ ist eine Abbildung

$Q\colon L\longrightarrow R,$

die die beiden Eigenschaften

1. ${}Q(rv)=r^{2}Q(v)\,$

   für alle ${}r\in R$ und ${}v\in L$,

2. ${}Q(u+v)+Q(u-v)=2Q(u)+2Q(v)\,$

   für alle ${}u,v\in L$,

erfüllt.

Dieses Konzept ist insbesondere für kommutative Gruppen anwendbar, die ja ${}\mathbb {Z}$-Moduln sind.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}Q$ eine quadratische Form auf einem ${}R$-Modul ${}V$. Dann nennt man die Abbildung

$V\times V\longrightarrow R,\,(v,w)\longmapsto Q(v+w)-Q(v)-Q(w),$

die zugehörige Bilinearform.

Man beachte, dass für die zugehörige Bilinearform die Beziehung

${}\left\langle v,v\right\rangle =Q(2v)-2Q(v)=4Q(v)-2Q(v)=2Q(v)\,$

gilt. Deshalb wäre es schöner, mit dem Faktor ${}{\frac {1}{2}}$ die zugehörige Bilinearform zu definieren, was aber in Charakteristik ${}2$ nicht geht.

Definition

Es sei ${}R$ ein angeordneter Ring und ${}V$ ein ${}R$-Modul. Eine quadratische Form ${}Q$ auf ${}V$ heißt positiv definit, wenn ${}Q(v)\geq 0$ für alle ${}v\in V$ und ${}Q(v)=0$ nur für ${}v=0$ gilt.

Satz

Es sei ${}R$ ein angeordneter Ring und ${}Q$ eine quadratische Form auf einem ${}R$-Modul ${}V$.

Dann gilt

${}{\left(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)\right)}^{2}\leq 4Q(v)Q(w)\,$

für alle ${}v,w\in V$.

Beweis

Die Form

${}\left\langle v,w\right\rangle =Q(v+w)-Q(v)-Q(w)\,$

ist bilinear und nach Voraussetzung positiv definit. Deshalb ist

${}{\begin{aligned}0&\leq \left\langle \left\langle w,w\right\rangle v-\left\langle v,w\right\rangle w,\left\langle w,w\right\rangle v-\left\langle v,w\right\rangle w\right\rangle \\&=\left\langle w,w\right\rangle ^{2}\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle ^{2}-\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle ^{2}+\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle ^{2}\\&=\left\langle w,w\right\rangle ^{2}\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle ^{2}\\&=\left\langle w,w\right\rangle {\left(\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,v\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}\right)}.\end{aligned}}$

Bei ${}w=0$ ist die zu beweisende Aussage richtig, sei also ${}w\neq 0$. Wegen der positiven Definitheit ist dann

${}\left\langle w,w\right\rangle >0\,,$

woraus

${}\left\langle v,w\right\rangle ^{2}\leq \left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle =2Q(v)\cdot 2Q(w)=4Q(v)Q(w)\,$

folgt.

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