Quadratische Form/Modul/Cauchy-Schwarz/Einführung/Textabschnitt

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Aus der linearen Algebra ist die Abschätzung von Cauchy-Schwarz bekannt.



Satz  

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm .

Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich

für alle .

Beweis  

Bei ist die Aussage richtig. Sei also und damit auch . Damit hat man die Abschätzungen

Multiplikation mit und Wurzelziehen ergibt das Resultat.

Skalarprodukte sind positive definite Bilinearformen auf einen reellen oder komplexen Vektorraum. Nach der Polarisationsformel ist allgemeiner eine symmetrische Bilinearform bereits durch die Werte festgelegt, die Zuordnung

heißt die zugehörige quadratische Form. Diese Konzepte kann man auch für kommutative Gruppen und allgemeiner Moduln über einem kommutativen Ring entwickeln, ein klassischer Gegenstand sind quadratische Formen auf , siehe Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 28.


Definition  

Sei ein kommutativer Ring. Eine quadratische Form auf einem -Modul ist eine Abbildung

die die beiden Eigenschaften

  1. für alle und ,

  2. für alle ,

erfüllt.

Dieses Konzept ist insbesondere für kommutative Gruppen anwendbar, die ja -Moduln sind.


Definition  

Es sei ein kommutativer Ring udn eine quadratische Form auf einem -Modul . Dann nennt man die Abbildung

die zugehörige Bilinearform.

Man beachte, dass für die zugehörige Bilinearform die Beziehung

gilt. Deshalb wäre es schöner, mit dem Faktor die zugehörige Bilinearform zu definieren, was aber in Charakteristik nicht geht.


Definition  

Es sei ein angeordneter Ring und ein -Modul. Eine quadratische Form auf heißt positiv definit, wenn für alle und nur für gilt.



Satz  

Es sei ein angeordneter Ring und eine quadratische Form auf einem -Modul .

Dann gilt

für alle .

Beweis  

Die Form

ist bilinear und nach Voraussetzung positiv definit. Deshalb ist

Bei ist die zu beweisende Aussage richtig, sei also . Wegen der positiven Definitheit ist dann

woraus

folgt.