Rationale Zahlen/Elementar/Ordnung/Einführung/2/Textabschnitt

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Wir definieren eine Anordnung auf den rationalen Zahlen.


Definition  

Auf den rationalen Zahlen wird die Größergleichrelation durch (bei positiven Nennern ), falls in gilt, definiert.

Wir müssen zuerst zeigen, dass diese Definition sinnvoll ist, also unabhängig von den gewählten Darstellungen der rationalen Zahlen als Brüche. Seien also

und

mit positiven Nennern. Dann ist

und

Aus

ergibt sich dann gemäß Fakt  (6) durch Multiplikation mit der positiven ganzen Zahl

Dies schreiben wir als

woraus sich durch Kürzen mit der positiven ganzen Zahl die Abschätzung

ergibt, die

bedeutet. Wegen der Symmetrie der Situation gilt auch die Umkehrung. Die Beziehung ist also unabhängig von dem gewählten Bruchrepräsentanten. Die zugrunde liegende Idee ist, die beiden zu vergleichenden Brüche auf einen gemeinsamen positiven Nenner zu bringen und dann die Zähler zu vergleichen. Es ist

und

Es liegt also einerseits das -Vielfache und andererseits das -Vielfache des gleichen Stammbruches . Es leuchtet ein, dass die Größerbeziehung nur von dem ganzzahligen Vorfaktor abhängt. Daraus und aus der Tatsache, dass man auch drei rationale Zahlen auf einen gemeinsamen Nenner bringen kann, folgt auch direkt, dass es sich um eine totale Ordnung handelt, siehe Aufgabe.


Beispiel  

Wir wollen die rationalen Zahlen

miteinander vergleichen. Man kann alle diese Zahlen auf den gemeinsamen Nenner bringen, wodurch man die Darstellungen

erhält, aus denen man an den Zählern unmittelbar die Größenverhältnisse ablesen kann. Man kann auch die Brüche paarweise gemäß der Definition vergleichen, wegen

ist beispielsweise


Um die Ordnungseigenschaften der rationalen Zahlen leichter erfassen zu können, empfiehlt es sich, den folgenden Begriff einzuführen. Es wird sich später herausstellen, dass auch die reellen Zahlen einen angeordneten Körper bilden.


Definition  

Ein Körper heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf gibt, die die beiden Eigenschaften

  1. Aus folgt (für beliebige ),
  2. Aus und folgt (für beliebige ),

erfüllt.

Man sagt, dass in einem angeordneten Körper die Anordnung mit der Addition und mit der Multiplikation verträglich ist. Elemente mit heißen positiv und mit heißen negativ.



Satz  

Die rationalen Zahlen bilden mit der in der Definition festgelegten Ordnung

einen angeordneten Körper.

Beweis  

Dass eine totale Ordnung vorliegt wird in Aufgabe gezeigt. Es sei , und mit positiven Nennern . Durch Übergang zu einem gemeinsamen Hauptnenner können wir direkt annehmen. Sei

also

Dann ist nach Fakt  (2) auch

und somit ist

Wenn die beiden Brüche und beide sind, so sind alle Zähler und Nenner aus und dies überträgt sich auf , also ist auch dies .


Die folgende Aussagen formulieren wir für beliebige angeordnete Körper. Man überlege sich auch, ob sich die Beweise vereinfachen würden, wenn man sich auf den Körper der rationalen Zahlen beschränkt. Die angegebenen Regeln gelten auch, wenn man mit statt mit arbeitet.



Lemma  

In einem angeordneten Körper gelten die folgenden Eigenschaften.

  1. .
  2. Es ist genau dann, wenn ist.
  3. Es ist genau dann, wenn ist.
  4. Es ist genau dann, wenn ist.
  5. Aus und folgt .
  6. Aus und folgt .
  7. Aus und folgt .

Beweis  

  1. Es gibt nur die drei sich ausschließenden Möglichkeiten

    Aufgrund der Körperaxiome ist . Wir müssen also nur noch die Möglichkeit zum Widerspruch führen. Nehmen wir an. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition kann man beidseitig addieren und erhält
    Aufgrund der Verträglichkeit mit der Multiplikation mit positiven Elementen kann man diese Abschätzung quadrieren und erhält

    also ist zugleich , ein Widerspruch.

  2. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
  3. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
  4. Folgt unmittelbar aus der Verträglichkeit mit der Addition.
  5. Aus folgt durch Subtraktion mit aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition die Abschätzung . Aus der Verträglichkeit mit der Multiplikation ergibt sich . Addition mit ergibt .
  6. Siehe Aufgabe.
  7. Folgt aus (6).




Lemma  

In einem angeordneten Körper gelten die folgenden Eigenschaften.

  1. Aus folgt auch .
  2. Aus folgt auch .
  3. Für ist genau dann, wenn ist.
  4. Aus folgt .
  5. Für positive Elemente ist äquivalent zu .

Beweis