Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Intervalle/Einführung/2/Textabschnitt

Definition

Ein Körper ${}K$ heißt angeordneter Körper, wenn es zwischen den Elementen von ${}K$ eine Beziehung ${}>$ („größer als“) gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllt (${}a\geq b$ bedeutet ${}a>b$ oder ${}a=b$).

1. Für je zwei Elemente ${}a,b\in K$ gilt entweder ${}a>b$ oder ${}a=b$ oder ${}b>a$.
2. Aus ${}a\geq b$ und ${}b\geq c$ folgt ${}a\geq c$ (für beliebige ${}a,b,c\in K$).
3. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ (für beliebige ${}a,b,c\in K$).
4. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ (für beliebige ${}a,b\in K$).

Die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ als auch die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ bilden mit den natürlichen Vergleichsordnungen einen angeordneten Körper. Im Zahlenstrahl bedeutet

${}a\geq b\,,$

dass ${}a$ mindestens so weit rechts wie ${}b$ liegt. Die ersten beiden Eigenschaften drücken aus, dass auf ${}K$ eine totale (oder lineare) Ordnung vorliegt; die in (2) beschriebene Eigenschaft heißt Transitivität.

Statt ${}a>b$ schreibt man auch ${}b<a$ („kleiner als“) und statt ${}a\geq b$ schreibt man auch ${}b\leq a$. Ein Element ${}a\in K$ in einem angeordneten Körper nennt man positiv, wenn ${}a>0$ ist, und negativ, wenn ${}a<0$ ist. Die ${}0$ ist demnach weder positiv noch negativ, und jedes Element ist entweder positiv oder negativ oder gleich ${}0$. Die Elemente ${}a$ mit ${}a\geq 0$ nennt man dann einfach nichtnegativ und die Elemente ${}a$ mit ${}a\leq 0$ nichtpositiv.

Lemma

In einem angeordneten Körper gelten die folgenden Eigenschaften.

1. ${}1\geq 0$.
2. Es ist ${}a\geq 0$ genau dann, wenn ${}-a\leq 0$ ist.
3. Es ist ${}a\geq b$ genau dann, wenn ${}a-b\geq 0$ ist.
4. Es ist ${}a\geq b$ genau dann, wenn ${}-a\leq -b$ ist.
5. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\geq d$ folgt ${}a+c\geq b+d$.
6. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\geq 0$ folgt ${}ac\geq bc$.
7. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\leq 0$ folgt ${}ac\leq bc$.
8. Aus ${}a\geq b\geq 0$ und ${}c\geq d\geq 0$ folgt ${}ac\geq bd$.
9. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\leq 0$ folgt ${}ab\leq 0$.
10. Aus ${}a\leq 0$ und ${}b\leq 0$ folgt ${}ab\geq 0$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

In einem angeordneten Körper gelten die folgenden Eigenschaften.

1. Aus ${}x>0$ folgt auch ${}x^{-1}>0$.
2. Aus ${}x<0$ folgt auch ${}x^{-1}<0$.
3. Für ${}x>0$ ist ${}x\geq 1$ genau dann, wenn ${}x^{-1}\leq 1$ ist.
4. Aus ${}x\geq y>0$ folgt ${}x^{-1}\leq y^{-1}$.
5. Für positive Elemente ${}x,y$ ist ${}x\geq y$ äquivalent zu ${}{\frac {x}{y}}\geq 1$.

Beweis

Siehe Aufgabe, Aufgabe, Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe.

$\Box$

Wir besprechen nun eine weitere Anordungseigenschaft der reellen Zahlen, das sogenannte Archimedes-Axiom. Um dieses formulieren zu können, müssen wir uns zunächst klar machen, dass in jedem Körper ${}K$ jede natürliche Zahl ${}n$ eine sinnvolle und eindeutige Interpretation hat. Dies ist nicht selbstverständlich, da ja in der Axiomatik eines Körpers zwar eine ${}0$ und eine ${}1$ vorkommt, aber keine ${}2,3,...$. Wir legen daher einfach über die Addition im Körper die Bedeutung dieser Zahlen fest, also

${}2=1+1\,,$

${}3=2+1=1+1+1$, u.s.w. Dabei kann passieren, dass eine positive natürliche Zahl in einem Körper gleich ${}0$ ist, im Körper mit zwei Elementen ist beispielsweise ${}0=2=4=6=\ldots$ und ${}1=3=5=7=\ldots$. Eine negative ganze Zahlen ${}-n$ kann man in jedem Körper als das Negative (im Körper) von ${}n$ interpretieren. Bei einem angeordneten Körper ${}K$ ist aber die natürliche Abbildung ${}\mathbb {Z} \rightarrow K$ injektiv. Damit können wir das noch ausstehende Axiom formulieren.

Archimedes (ca. 287 -212 v. C.)

Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Dann heißt ${}K$ archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem ${}x\in K$ eine natürliche Zahl ${}n$ mit

${}n\geq x\,$

gibt.

Die reellen Zahlen (ebenso die rationalen Zahlen) erfüllen das Archimedische Axiom, sie bilden also einen archimedisch angeordneten Körper. Die folgenden Folgerungen aus dem Archimedes-Axiom gelten also für die reellen Zahlen. Wir werden sie direkt nur für die reellen Zahlen selbst formulieren, da man sogar jeden archimedisch angeordneten Körper als Unterkörper der reellen Zahlen erhalten kann. In Aufgabe wird ein angeordneter Körper beschrieben, der nicht archimedisch angeordnet ist. Aufgrund von Aufgabe enthält ein angeordneter Körper nicht nur die ganzen Zahlen, sondern auch die rationalen Zahlen.

Lemma

1. Zu ${}x,y\in \mathbb {R}$ mit ${}x>0$ gibt es ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}nx\geq y$.
2. Zu ${}x>0$ gibt es eine natürliche Zahl ${}n$ mit ${}{\frac {1}{n}}<x$.
3. Zu zwei reellen Zahlen ${}x<y$ gibt es auch eine rationale Zahl ${}n/k$ (mit ${}n\in \mathbb {Z}$, ${}k\in \mathbb {N} _{+}$) mit

   ${}x<{\frac {n}{k}}<y\,.$

Beweis

(1). Wir betrachten ${}y/x$. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein ${}n$ mit ${}n\geq y/x$. Da ${}x$ positiv ist, gilt nach Fakt  (6) auch ${}nx\geq y$. Für (2) und (3) siehe Aufgabe.

$\Box$

Definition

Für reelle Zahlen ${}a,b$, ${}a\leq b$, nennt man

• ${}[a,b]={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a{\text{ und }}x\leq b\right\}}$

das abgeschlossene Intervall.

• ${}]a,b[={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>a{\text{ und }}x<b\right\}}$

das offene Intervall.

• ${}]a,b]={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>a{\text{ und }}x\leq b\right\}}$

das linksseitig offene Intervall.

• ${}[a,b[={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a{\text{ und }}x<b\right\}}$

das rechtsseitig offene Intervall.

Für das offene Intervall wird häufig auch ${}(a,b)$ geschrieben. Die Zahlen ${}a$ und ${}b$ heißen die Grenzen des Intervalls (oder Randpunkte des Intervalls), genauer spricht man von unterer und oberer Grenze. Die Bezeichnung linksseitig und rechtsseitig bei den beiden letzten Intervallen (die man auch als halboffen bezeichnet) rühren von der üblichen Repräsentierung der reellen Zahlen als Zahlengerade her, bei der rechts die positiven Zahlen stehen. Manchmal werden auch Schreibweisen wie ${}[a,\infty ]$ verwendet. Dies bedeutet nicht, dass es in ${}\mathbb {R}$ ein Element ${}\infty$ gibt, sondern ist lediglich eine kurze Schreibweise für ${}{\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a\right\}}$. Ferner verwendet man Schreibweisen wie

$\mathbb {R} _{+},\,\mathbb {R} _{-},\,\mathbb {R} _{\geq 0}=\mathbb {R} _{+}^{0},\,\mathbb {R} _{\leq 0}=\mathbb {R} _{-}^{0}$

oder Ähnliches.