Riemannsche Fläche/Divisoren/Kohomologie/Textabschnitt

In Fakt wurde auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche die kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {\operatorname {div} {\left(-\right)}}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {D}}iv}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

betrachtet.

Lemma

Auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$

gibt es die exakte Sequenz

$0\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }){\stackrel {\operatorname {div} {\left(-\right)}}{\longrightarrow }}\operatorname {Div} {\left(X\right)}{\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\longrightarrow 1.$

Insbesondere gibt es eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {DKG} {\left(X\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H^{1}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Beweis

Die lange exakte Kohomologiesequenz zur kurzen exakten Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {\operatorname {div} {\left(-\right)}}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {D}}iv}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

ist

$0\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }){\stackrel {\operatorname {div} {\left(-\right)}}{\longrightarrow }}\operatorname {Div} {\left(X\right)}{\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\longrightarrow 0,$

wobei die ${}0$ rechts auf der Welkheit der Divisorengarbe beruht. Der Zusatz folgt unmittelbar aus der Definition der Divisorenklassengruppe.

$\Box$

Nach Beispiel in Verbindung mit Fakt ist ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$ isomorph zur Gruppe von Isomorphieklassen von invertierbaren Garben mit dem Tensorprodukt als Verknüpfung. Der verbindende Homomorphismus

$\delta \colon \operatorname {Div} {\left(X\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$

stimmt im Wesentlichen mit der Zuordnung aus der Definition überein. In Bemerkung wird erläutert, dass im kompakten Fall sogar

${}\operatorname {DKG} {\left(X\right)}\cong H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\,$

gilt.