Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Decktransformationen und Galoisgruppe/Textabschnitt

Es sei ${}\pi \colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen der Blätterzahl ${}n$. Nach Fakt liegt dann zwischen den Körpern der meromorphen Funktionen eine endliche Körpererweiterung ${}{\mathcal {M}}(X)\subseteq {\mathcal {M}}(Y)$ vom Grad ${}n$ vor. Insbesondere kann man in dieser Situation Konzepte und Ergebnisse der Körper- und Galoistheorie anwenden, die in diesem Kontext ein neuartiges Flair bekommen.

Lemma

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung mit der Blätterzahl ${}n$ zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}Y$ und ${}X$ mit der zugehörigen endlichen Körpererweiterung ${}{\mathcal {M}}{\left(X\right)}\subseteq {\mathcal {M}}{\left(Y\right)}$.

Dann gibt es einen natürlichen Gruppenisomorphismus

$\operatorname {Deck} {\left(Y{|}X\right)}\longrightarrow \operatorname {Gal} \,({\mathcal {M}}{\left(Y\right)}{|}{\mathcal {M}}{\left(X\right)}),$

Beweis

Für eine Decktransformation

$\varphi \colon Y\longrightarrow Y$

und eine meromorphe Funktion ${}f\in {\mathcal {M}}{\left(Y\right)}$ ist auch ${}f\circ \varphi$ wieder meromorph, wobei meromorphe Funktionen auf ${}X$ in sich selbst überführt werden. Daher erhält man eine natürliche Abbildung

$\operatorname {Deck} {\left(Y{|}X\right)}\longrightarrow \operatorname {Gal} \,({\mathcal {M}}{\left(Y\right)}{|}{\mathcal {M}}{\left(X\right)}),$

die offenbar ein Gruppenhomomorphismus ist. Es werde ${}{\mathcal {M}}{\left(Y\right)}$ über ${}{\mathcal {M}}{\left(Y\right)}$ von der meromorphen Funktion ${}g$ erzeugt und es sei

${}H(T)=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}\,$

das Minimalpolynom mit ${}a_{j}\in {\mathcal {M}}{\left(X\right)}$. Es sei ${}Q\in X$ ein Punkt, der nicht im Verzweigungsbild liegt und wo die Koeffizientenfunktionen ${}a_{j}$ holomorph seien, mit den Urbildpunkten ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$. Dann besitzt ${}g$ an diesen Punkten unterschiedliche Werte. Aus ${}g\circ \varphi =g$ im Körper ${}{\mathcal {M}}{\left(Y\right)}$ für alle Decktransformationen ${}\varphi$ folgt, dass diese Punkte in sich selbst überführt werden und daraus ergibt sich überhaupt mit Fakt, dass ${}\varphi$ die Identität ist. Der Gruppenhomomorphismus ist also injektiv.

Es sei nun ${}\psi$ ein Automorphismus des Körpers. Dieser ist durch das Bild ${}{\tilde {g}}$ des Erzeugers ${}g$ festgelegt, und ${}{\tilde {g}}$ erfüllt ebenfalls das Minimalpolynom. Wir betrachten

${}V={\left\{(x,t)\in X'\times {\mathbb {C} }\mid H(x,t)=0\right\}}\subseteq X'\times {\mathbb {C} }\,,$

wobei ${}X'$ die Teilmenge von ${}X$ bezeichne, auf der eine Überlagerung ${}Y'\rightarrow X'$ vorliegt und so, dass die ${}a_{j}$ auf ${}X'$ und ${}g$ auf ${}Y'$ holomorph ist. Wegen Fakt ist ${}Y'$ biholomorph zum Nullstellengebilde zu ${}H$ über ${}X'$. Die Abbildung

${}\varphi (x,t)=(x,{\tilde {g}}(x,t))\,$

ist eine Decktransformation oberhalb von ${}X'$, die auf ${}\psi$ abbildet. Nach Fakt lässt sich die Decktransformation auf ganz ${}Y$ ausdehnen.

$\Box$

Satz

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}Y$ und ${}X$ mit der zugehörigen endlichen Körpererweiterung ${}{\mathcal {M}}{\left(X\right)}\subseteq {\mathcal {M}}{\left(Y\right)}$.

Dann ist die Abbildung genau dann normal, wenn die Körpererweiterung galoissch ist.

Beweis

Es sei ${}n$ die mit der Blätterzahl der Abbildung, die nach Fakt mit dem Grad er Körpererweiterung übereinstimmt. Die Aussage folgt aus Fakt. Galoissch bedeutet nach Definition, dass die Galoisgruppe aus ${}n$ Elementen besteht. Normalität bedeutet, dass man jeden Faserpunkt in jeden Faserpunkt überführen kann. Das bedeutet, angewendet auf eine Faser ohne Verzweigungspunkte, dass es zumindest ${}n$ Decktransformationen gibt. Die Existenz von ${}n$ Decktransformationen bedeutet wiederum für eine unverzweigte Faser, dass von einem Punkt aus jeder andere Punkt erreicht wird, da es wegen der Eindeutigkeit der Liftung nur eine Decktransformation gibt, die einen Punkt erreicht.

$\Box$