Ringhomomorphismus/Kern ist Ideal/Körperfall/Textabschnitt

Der Zusammenhang zwischen Ringhomomorphismen und Idealen wird durch folgenden Satz hergestellt.

Satz

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus. Dann ist der Kern

${}\operatorname {kern} \varphi ={\left\{f\in R\mid \varphi (f)=0\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$.

Beweis

Sei

${}I:=\varphi ^{-1}(0)\,.$

Wegen ${}\varphi (0)=0$. ist ${}0\in I$. Es seien ${}a,b\in I$. Das bedeutet ${}\varphi (a)=0$ und ${}\varphi (b)=0$. Dann ist

${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)=0+0=0\,$

und daher ${}a+b\in I$.

Es sei nun ${}a\in I$ und ${}r\in R$ beliebig. Dann ist

${}\varphi (ra)=\varphi (r)\varphi (a)=\varphi (r)\cdot 0=0\,,$

also ist ${}ra\in I$.

$\Box$

Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus der zugrunde liegenden additiven Gruppe ist, gilt wieder das Kernkriterium für die Injektivität. Eine Anwendung davon ist das folgende Korollar.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}S$ ein vom Nullring verschiedener Ring. Es sei

$\varphi \colon K\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus.

Dann ist ${}\varphi$ injektiv.

Beweis

Es genügt nach Fakt zu zeigen, dass der Kern der Abbildung gleich ${}0$ ist. Nach Fakt ist der Kern ein Ideal. Da die ${}1$ auf ${}1\neq 0$ geht, ist der Kern nicht ganz ${}K$. Da es nach Fakt in einem Körper überhaupt nur zwei Ideale gibt, muss der Kern das Nullideal sein.

$\Box$