Schema/Faktorieller Ring/Picardgruppe/Einführung/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich. Dann gelten die folgenden Aussagen.

1. Zu ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, ist ${}(f)R_{(p)}=(p^{s})$ genau dann, wenn ${}p$ mit dem Exponenten ${}s$ in der Primfaktorzerlegung von ${}f$ vorkommt.
2. Zwei Hauptideale ${}(f)$ und ${}(g)$ stimmen genau dann überein, wenn für jedes Primelement ${}p$ in der Lokalisierung ${}R_{(p)}$ die Ideale ${}(f)R_{(p)}$ und ${}(g)R_{(p)}$ übereinstimmen.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Satz

Die Picardgruppe eines faktoriellen Integritätsbereiches

ist trivial.

Beweis

Es sei ${}I\subseteq R$ ein Ideal, das invertierbar sei, und sei

${}X=\bigcup _{i=1}^{n}D(f_{i})\,$

eine offene Überdeckung derart, dass ${}IR_{f_{i}}$ ein Hauptideal ist. Es ist insbesondere zu jedem Primelement ${}p$ das Ideal ${}I_{(p)}\subseteq R_{(p)}$ ein Hauptideal und damit von der Form ${}p^{s_{p}}$, da ${}R_{(p)}$ ein diskreter Bewertungsring ist. Dabei sind die ${}s_{p}$ nur für endlich viele Primelemente von ${}0$ verschieden. Zu einem Element ${}g\in I$, ${}g\neq 0$. gibt es nämlich nur endlich viele Primteiler und für die anderen Primelemente ${}q$ ist ${}g$ eine Einheit in ${}R_{(q)}$. Wir behaupten, dass ${}I$ mit dem von ${}h=\prod _{p}p^{s_{p}}$ erzeugten Hauptideal übereinstimmt. Da man die Gleichheit von Idealen lokal zu einer Überdeckung testen kann, können wir in ${}R_{f_{i}}$ argumentieren. Die Aussage folgt dann aus Fakt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher faktorieller Integritätsbereich und ${}U\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eine offene Teilmenge.

Dann ist die Picardgruppe von ${}U$ trivial.

Beweis

Es sei

${}U=D(f_{1},\ldots ,f_{n})\,,$

wir führen Induktion über ${}n$, wobei der Induktionsanfang nach Fakt klar ist. Wir können also davon ausgehen, dass ${}{\mathcal {L}}$ auf ${}D(f_{1},\ldots ,f_{n-1})$ trivial ist. Wir ziehen Bemerkung heran, somit ist die invertierbare Garbe durch eine Einheit über ${}D(f_{1},\ldots ,f_{n-1})\cap D(f_{n})$ festgelegt. Nach Fakt ist die Strukturgarbe und damit auch die Garbe der Einheiten im faktoriellen Fall besonders einfach, ein Element ${}h\in R$ ist genau dann eine Einheit auf ${}U$, wenn ${}U\subseteq D(h)$ gilt. Daher sind Einheiten auf offenen Mengen generell von der Form ${}h=up_{1}^{r_{1}}\cdots p_{s}^{r_{s}}$ mit Primelementen ${}p_{j}\in R$, ${}u$ einer Einheit aus ${}R$ und ${}r_{j}\in \mathbb {Z}$. Dabei ist ${}h$ eine Einheit auf

${}D(f_{1},\ldots ,f_{n-1})\cap D(f_{n})=D(f_{1}f_{n},\ldots ,f_{n-1}f_{n})\,$

genau dann, wenn die beteiligten ${}p_{j}$ (also die mit einem Exponenten ${}r_{j}\neq 0$) die ${}f_{i}f_{n}$ teilen. Dies bedeutet, dass ${}p_{j}$ das Element ${}f_{n}$ oder aber alle Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n-1}$ teilt. In jedem Fall kann man ${}h$ als ein Produkt von Einheiten über ${}D(f_{1},\ldots ,f_{n-1})$ und Einheiten über ${}D(f_{n})$ schreiben. Mit diesen Einheiten kann man die Garbe trivialisieren.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein noethersches integres Schema und ${}U\subseteq X$ eine offene Teilmenge. Für jeden Punkt ${}P\in X\setminus U$ sei der lokale Ring ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$ faktoriell.

Dann lässt sich jede invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ auf ${}U$ zu einer invertierbaren Garbe auf ${}X$ fortsetzen.

Beweis

Es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}U$ und es sei ${}P\in X\setminus U$ ein Punkt. Es sei ${}W=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eine offene affine Umgebung von ${}P$, wobei ${}P$ dem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ entspreche. Nach Voraussetzung ist ${}R_{\mathfrak {p}}$ faktoriell. Wir betrachten die (injektiven) Schemamorphismen

$\operatorname {Spek} {\left(R_{\mathfrak {p}}\right)}\longrightarrow W\longrightarrow X.$

Die offene Menge ${}U$ hat mit ${}W$ und mit ${}\operatorname {Spek} {\left(R_{\mathfrak {p}}\right)}$ einen nichtleeren Durchschnitt, sagen wir ${}V\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R_{\mathfrak {p}}\right)}$, da der generische Punkt von ${}X$ dem Nullideal von ${}R_{\mathfrak {p}}$ entspricht. Die zurückgezogene Garbe auf ${}V$ ist wegen Fakt trivial und rührt von einem ${}R_{\mathfrak {p}}$-Modul und auch von einem ${}R$-Modul ${}L$ her. Aufgrund der Trivialisierbarkeit gibt es einen ${}R_{\mathfrak {p}}$-Modulisomorphismus

$R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow L_{\mathfrak {p}}.$

Dieses Isomorphismus kann man auf eine offene Umgebung ${}P\in D(f)=W'\subseteq W$ ausdehnen. Somit ist eine Ausdehnung von ${}{\mathcal {L}}$ auf ${}U\cap W'$ gefunden. Daher können wir die offene Menge durch zunehmend größere offene Menge, auf der eine Ausdehnung existiert, ersetzen. Dieser Prozess endet wegen noethersch beim Gesamtraum.

$\Box$

Unter der vorstehenden Voraussetzung ist also der natürliche Einschränkungshomomorphismus

$\operatorname {Pic} {\left(X\right)}\longrightarrow \operatorname {Pic} {\left(U\right)}$

surjektiv.