Trigonometrische Funktionen/R/Direkt/Additionstheorem/Textabschnitt

Eine Drehung der reellen Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ um den Nullpunkt um den Winkel ${}\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn bildet den ersten Standardvektor ${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ auf den trigonometrischen Punkt

${}P(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}\,$

und den zweiten Standdardvektor ${}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ auf ${}{\begin{pmatrix}-\sin \alpha \\\cos \alpha \end{pmatrix}}$ ab. Da es sich um lineare Abbildungen handelt, werden ebene Drehungen durch die folgenden Drehmatrizen beschrieben.

Definition

Eine lineare Abbildung

$D(\alpha )\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$

die durch eine Drehmatrix ${}{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ (mit einem ${}\alpha \in \mathbb {R}$) gegeben ist, heißt Drehung.

Satz

Für die trigonometrischen Funktionen

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$

und

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$

gelten die Additionstheoreme

${}\cos(x+y)=\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y\,$

und

${}\sin(x+y)=\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y\,.$

Beweis

Die Hintereinanderschaltung der Drehung um den Winkel ${}x$ und der Drehung um den Winkel ${}y$ ist die Drehung um den Winkel ${}x+y$. Nach Fakt wird diese Hintereinanderschaltung durch das Matrixprodukt der beiden Drehmatrizen beschrieben. Somit ist aufgrund einer einfachen Matrizenmultiplikation

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,(x+y)&-\operatorname {sin} \,(x+y)\\\operatorname {sin} \,(x+y)&\operatorname {cos} \,(x+y)\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,x&-\operatorname {sin} \,x\\\operatorname {sin} \,x&\operatorname {cos} \,x\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,y&-\operatorname {sin} \,y\\\operatorname {sin} \,y&\operatorname {cos} \,y\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y&-\cos x\cdot \sin y-\sin x\cdot \cos y\\\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y&\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}$

Betrachten der Komponenten in der ersten Spalte ergibt die Behauptung.

$\Box$

Mit den Additionstheoremen können wir die Stetigkeit der trigonometrischen Funktionen beweisen.

Satz

Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus

sind stetig.

Beweis

Wegen Fakt  (3) genügt es, die Aussage für den Sinus zu zeigen. Wir zeigen zuerst die Stetigkeit des Sinus im Nullpunkt. Nach Aufgabe ist

${}\vert {\sin x}\vert \leq \vert {x}\vert \,.$

Daraus folgt direkt die Stetigkeit im Nullpunkt. Aufgrund von Fakt  (1) folgt daraus auch die Stetigkeit des Kosinus im Nullpunkt. Zum Nachweis der Stetigkeit des Sinus in einem beliebigen Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ verwenden wir das Folgenkriterium. Es sei also ${}x_{n}$ eine gegen ${}x$ konvergente Folge, die wir als

${}x_{n}=x+z_{n}\,$

mit einer Nullfolge ${}z_{n}$ schreiben. Aufgrund des Additionstheorems für den Sinus gilt

${}\sin \left(x+z_{n}\right)=\sin x\cdot \cos z_{n}+\cos x\cdot \sin z_{n}\,.$

Aufgrund der Vorüberlegung und den Rechenregeln für konvergente Folgen konvergiert dieser Ausdruck gegen ${}\sin x$.

$\Box$

Wir erwähnen abschließend noch die analytischen Ausdrücke für die trigonometrischen Funktionen Kosinus und Sinus.

Definition

Für ${}x\in \mathbb {R}$ heißt

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$

die Kosinusreihe und

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

die Sinusreihe zu ${}x$.

In einem streng-analytischen Aufbau der trigonometrischen Funktionen und von ${}\pi$, der auf geometrische Intuition verzichtet, fängt man mit diesen Definitionen an und erarbeitet sich dann die Beziehung zum Einheitskreis. Man muss zunächst zeigen, dass diese Reihen konvergieren. Mit diesem Zugang erhält man dann insbesondere, dass die trigonometrischen Funktionen nicht nur stetig, sondern auch differenzierbar sind.