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Vektorraum/Projektion/Einführung/Textabschnitt

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Zu einer direkten Summenzerlegung einen -Vektorraumes nennt man die lineare Abbildung

die erste Projektion (oder Projektion auf bezüglich der gegebenen Zerlegung oder Projektion auf längs ) und entsprechend

die zweite Projektion zu dieser Zerlegung. Da die und Untervektorräume von sind, ist es sinnvoll, die Gesamtabbildung

ebenfalls als Projektion zu bezeichnen. Dann liegt eine Projektion im Sinne der folgenden Definition vor.


Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und ein Untervektorraum. Eine lineare Abbildung

heißt Projektion von auf , wenn und ist.


Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und , , eine Basis von . Zu einer Teilmenge sei

der zu gehörende Untervektorraum und

die zugehörige Projektion. Das Bild dieser Projektion ist und man kann die Abbildung auch als

auffassen. Auf liegt die Identität vor. Der Kern der Abbildung ist



Für den , versehen mit der Standardbasis, ergeben sich (im Sinne von Beispiel betrachtet man die zweielementigen Teilmengen ) drei verschiedene Projektionen auf die Koordinatenebenen. Man nennt

die Projektion auf die Grundebene,

die Projektion auf die Aufebene,

die Projektion auf die Kreuzebene (oder Seitenebene). Die Bilder eines Gegenstandes im unter diesen Projektionen heißen auch Grundriss, Aufriss und Kreuzriss.

Zu den einelementigen Teilmengen gehören die Projektionen auf die Achsen.


Eine abstraktere Definition ist die folgende, die a priori ohne Bezug auf einen Untervektorraum auskommt.


Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Eine lineare Abbildung

heißt Projektion, wenn

gilt.

Die Identität und die Nullabbildung sind Projektionen.



Es sei ein Körper und ein -Vektorraum.

Zu einer direkten Zerlegung

ist die Projektion auf eine Projektion im Sinne von Definition. Eine solche Projektion

führt umgekehrt zu einer Zerlegung

und ist die Projektion auf .

Es sei die Projektion auf . Für mit gilt dann

also ist

Es sei umgekehrt

eine Endomorphismus mit

Es sei . Dann gibt es insbesondere ein mit

Dann ist

d.h. der Durchschnitt der beiden Untervektorräume ist der Nullraum. Für ein beliebiges schreiben wir

Dabei gehört der vordere Summand zum Bild und wegen

gehört der hintere Summand zum Kern. Es liegt also eine direkte Summenzerlegung vor.