Vektorraum/Projektion/Einführung/Textabschnitt

Zu einer direkten Summenzerlegung ${}V=U_{1}\oplus U_{2}$ einen ${}K$ -Vektorraumes ${}V$ nennt man die lineare Abbildung

p_{1}\colon V\longrightarrow U_{1},\,v_{1}+v_{2}\longmapsto v_{1},

die erste Projektion (oder Projektion auf ${}U_{1}$ bezüglich der gegebenen Zerlegung oder Projektion auf ${}U_{1}$ längs ${}U_{2}$ ) und entsprechend

p_{2}\colon V\longrightarrow U_{2},\,v_{1}+v_{2}\longmapsto v_{2},

die zweite Projektion zu dieser Zerlegung. Da die ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ Untervektorräume von ${}V$ sind, ist es sinnvoll, die Gesamtabbildung

V{\stackrel {p_{1}}{\longrightarrow }}U_{1}\longrightarrow V

ebenfalls als Projektion zu bezeichnen. Dann liegt eine Projektion im Sinne der folgenden Definition vor.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ -Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Eine lineare Abbildung

\varphi \colon V\longrightarrow V

heißt Projektion von ${}V$ auf ${}U$ , wenn ${}U=\operatorname {bild} \varphi$ und ${}\varphi {|}_{U}=\operatorname {Id} _{U}$ ist.

Beispiel

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ -Vektorraum und ${}v_{i},\,i\in I$ , eine Basis von ${}V$ . Zu einer Teilmenge ${}J\subseteq I$ sei

{}V_{J}=\langle v_{i},\,i\in J\rangle \,

der zu ${}J$ gehörende Untervektorraum und

p_{J}\colon V\longrightarrow V,\,\sum _{i\in I}a_{i}v_{i}\longmapsto \sum _{i\in J}a_{i}v_{i},

die zugehörige Projektion. Das Bild dieser Projektion ist ${}V_{J}$ und man kann die Abbildung auch als

p_{J}\colon V\longrightarrow V_{J}

auffassen. Auf ${}V_{J}$ liegt die Identität vor. Der Kern der Abbildung ist

{}\operatorname {kern} p_{J}=\langle v_{i},\,i\not \in J\rangle \,.

Für den ${}\mathbb {R} ^{3}$ , versehen mit der Standardbasis, ergeben sich (im Sinne von Beispiel betrachtet man die zweielementigen Teilmengen ${}J\subset \{1,2,3\}$ ) drei verschiedene Projektionen auf die Koordinatenebenen. Man nennt

p_{\{1,2\}}\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(a,b,c)\longmapsto (a,b,0),

die Projektion auf die Grundebene,

p_{\{1,3\}}\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(a,b,c)\longmapsto (a,0,c),

die Projektion auf die Aufebene,

p_{\{2,3\}}\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(a,b,c)\longmapsto (0,b,c),

die Projektion auf die Kreuzebene (oder Seitenebene). Die Bilder eines Gegenstandes im ${}\mathbb {R} ^{3}$ unter diesen Projektionen heißen auch Grundriss, Aufriss und Kreuzriss.

Zu den einelementigen Teilmengen ${}\{j\}\subseteq \{1,2,3\}$ gehören die Projektionen auf die Achsen.

Eine abstraktere Definition ist die folgende, die a priori ohne Bezug auf einen Untervektorraum auskommt.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ -Vektorraum. Eine lineare Abbildung

\varphi \colon V\longrightarrow V

heißt Projektion, wenn

{}\varphi ^{2}=\varphi \,

gilt.

Die Identität und die Nullabbildung sind Projektionen.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ -Vektorraum.

Zu einer direkten Zerlegung

${}V=U\oplus U'\,$

ist die Projektion auf ${}U$ eine Projektion im Sinne von Definition. Eine solche Projektion

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

führt umgekehrt zu einer Zerlegung

${}V=\operatorname {kern} \varphi \oplus \operatorname {bild} \varphi \,,$

und ${}\varphi$ ist die Projektion auf ${}\operatorname {bild} \varphi$ .