Vektorraum/Projektion/Einführung/Textabschnitt
Zu einer direkten Summenzerlegung einen -Vektorraumes nennt man die lineare Abbildung
die erste Projektion (oder Projektion auf bezüglich der gegebenen Zerlegung oder Projektion auf längs ) und entsprechend
die zweite Projektion zu dieser Zerlegung. Da die und Untervektorräume von sind, ist es sinnvoll, die Gesamtabbildung
ebenfalls als Projektion zu bezeichnen. Dann liegt eine Projektion im Sinne der folgenden Definition vor.
Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und ein Untervektorraum. Eine lineare Abbildung
heißt Projektion von auf , wenn und ist.
Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und , , eine Basis von . Zu einer Teilmenge sei
der zu gehörende Untervektorraum und
die zugehörige Projektion. Das Bild dieser Projektion ist und man kann die Abbildung auch als
auffassen. Auf liegt die Identität vor. Der Kern der Abbildung ist
Für den , versehen mit der Standardbasis, ergeben sich (im Sinne von Beispiel betrachtet man die zweielementigen Teilmengen ) drei verschiedene Projektionen auf die Koordinatenebenen. Man nennt
die Projektion auf die Grundebene,
die Projektion auf die Aufebene,
die Projektion auf die Kreuzebene (oder Seitenebene). Die Bilder eines Gegenstandes im unter diesen Projektionen heißen auch Grundriss, Aufriss und Kreuzriss.
Zu den einelementigen Teilmengen gehören die Projektionen auf die Achsen.
Eine abstraktere Definition ist die folgende, die a priori ohne Bezug auf einen Untervektorraum auskommt.
Die Identität und die Nullabbildung sind Projektionen.
Es sei ein Körper und ein -Vektorraum.
Zu einer direkten Zerlegung
ist die Projektion auf eine Projektion im Sinne von Definition. Eine solche Projektion
führt umgekehrt zu einer Zerlegung
und ist die Projektion auf .
Es sei die Projektion auf . Für mit gilt dann
also ist
Es sei umgekehrt
eine Endomorphismus mit
Es sei . Dann gibt es insbesondere ein mit
Dann ist
d.h. der Durchschnitt der beiden Untervektorräume ist der Nullraum. Für ein beliebiges schreiben wir
Dabei gehört der vordere Summand zum Bild und wegen
gehört der hintere Summand zum Kern. Es liegt also eine direkte Summenzerlegung vor.