Zahlenraum/Unterräume/Lineare Gleichungssysteme/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Eine Teilmenge ${}U\subseteq K^{n}$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

1. Es ist ${}0\in U$.
2. Mit ${}u,v\in U$ ist auch ${}u+v\in U$.
3. Mit ${}u\in U$ und ${}s\in K$ ist auch ${}su\in U$.

Eine Familie von Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{k}\in U$ heißt wieder ein Erzeugendensystem von ${}U$, wenn man jeden Vektor aus ${}U$ als eine Linearkombination ${}u=\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}$ schreiben kann, und eine Basis von ${}U$, wenn darüber hinaus diese Darstellung eindeutig ist. Mit einem Erzeugendensystem kann man einen Untervektorraum ${}U$ in der Form

${}U={\left\{\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K\right\}}\,$

beschreiben. Umgekehrt definiert dabei die rechte Seite stets einen Untervektorraum, der der von den Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{k}$ erzeugte Untervektorraum heißt. Er wird mit ${}\langle v_{1},\ldots ,v_{k}\rangle$ bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$.

Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Für einen Untervektorraum ${}U\subseteq K^{n}$ gibt es grundsätzlich zwei Beschreibungsmöglichkeiten: Als Lösungsraum eines homogenen linearen Gleichungssystems und als ein von Vektoren erzeugter Untervektorraum. Durch das Lösen eines linearen Gleichungssystems wird die zuerst genannte Darstellungsmöglichkeit in die zweite Darstellungsmöglichkeit umgewandelt.

Bemerkung  

Man nennt zu einem homogenen linearen Gleichungssystem Lösungen ${}v_{1},\ldots ,v_{k}$ Basislösungen, wenn man jede Lösung eindeutig als Linearkombination dieser Basislösungen darstellen kann. Wenn ein solches System in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ gegeben ist, und wenn man die freien Variablen ${}x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{k}}$ identifiziert hat, so erhält man Basislösungen, wenn man diese freien Variablen an einer Stelle mit ${}1$ und sonst mit ${}0$ belegt und die anderen Einträge der abhängigen Variablen jeweils ausrechnet.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Eine Teilmenge ${}S\subseteq K^{n}$ heißt affiner Unterraum, wenn (${}S$ leer ist oder) es einen Untervektorraum ${}U\subseteq K^{n}$ und einen Punkt ${}P\in K^{n}$ mit

${}S=P+U={\left\{P+v\mid v\in U\right\}}\,$

gibt.

Statt von einem affinen Unterraum spricht man manchmal schlicht von einem Unterraum. Der Punkt ${}P$ heißt ein Aufpunkt des Raumes und ${}U$ heißt der zugehörige Untervektorraum. Ein affiner Unterraum ist ein in eine bestimmte Richtung parallel verschobener Untervektorraum, wobei der Aufpunkt den Verschiebungsvektor bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$.

Dann ist die Menge ${}S$ aller Lösungen des Gleichungssystems ein (affiner) Unterraum des ${}K^{n}$. Dabei kann man jede Lösung ${}P\in S$ als Aufpunkt nehmen, und der zugehörige Untervektorraum ist der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem.

Beweis

Es sei die Lösungsmenge ${}S$ nicht leer und sei ${}P={\begin{pmatrix}p_{1}\\\vdots \\p_{n}\end{pmatrix}}\in S$ ein beliebig gewählter Punkt. Es sei ${}U$ der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem, der nach Fakt ein Untervektorraum von ${}K^{n}$ ist. Wir müssen die Mengengleichheit ${}S=P+U$ zeigen. Wenn ${}v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\in U$ ist, so bedeutet dies

${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}=0\,$

für alle ${}i=1,\ldots ,m$. Für ${}P+v={\begin{pmatrix}p_{1}+v_{1}\\\vdots \\p_{n}+v_{n}\end{pmatrix}}$ ist dann

${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(p_{j}+v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}p_{j}+\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}=c+0=c\,,$

also ist dieser Punkt eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems und somit ist ${}P+v\in S$. Wenn umgekehrt ${}Q={\begin{pmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{n}\end{pmatrix}}\in S$ eine Lösung ist, so ist

${}Q-P={\begin{pmatrix}q_{1}-p_{1}\\\vdots \\q_{n}-p_{n}\end{pmatrix}}\,$

und diese Differenz erfüllt

${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(q_{j}-p_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}q_{j}-\sum _{j=1}^{n}a_{ij}p_{j}=c-c=0\,.$

Also ist ${}Q-P\in U$ und somit ${}Q=P+(Q-P)\in P+U$.

$\Box$

Wenn man also die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems beschreiben möchte, so nimmt man eine spezielle Lösung als Aufpunkt und eine Basis des Lösungsraumes des zugehörigen homogenen Gleichungssystems.