Zwischenwertsatz/Intervall/Textabschnitt

Wir interessieren uns dafür, was unter einer stetigen Abbildung ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit einem Intervall passiert. Der Zwischenwertsatz besagt, dass das Bild wieder ein Intervall ist.

Satz

Es seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen ${}f(a)$ und ${}f(b)$.

Dann gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit ${}f(c)=u$.

Beweis

Wir beschränken uns auf die Situation ${}f(a)\leq u\leq f(b)$ und zeigen die Existenz von einem solchen ${}c$ mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man ${}a_{0}:=a$ und ${}b_{0}:=b$, betrachtet die Intervallmitte ${}c_{0}:={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}$ und berechnet

$f(c_{0}).$

Bei ${}f{\left(c_{0}\right)}\leq u$ setzt man

$a_{1}:=c_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=b_{0}$

und bei ${}f{\left(c_{0}\right)}>u$ setzt man

$a_{1}:=a_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=c_{0}.$

In jedem Fall hat das neue Intervall ${}[a_{1},b_{1}]$ die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung ${}f{\left(a_{1}\right)}\leq u\leq f{\left(b_{1}\right)}$ erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer Intervallschachtelung. Sei ${}c$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß Fakt definierte reelle Zahl. Für die unteren Intervallgrenzen gilt ${}f{\left(a_{n}\right)}\leq u$ und das überträgt sich wegen der Stetigkeit nach dem Folgenkriterium auf den Grenzwert ${}c$, also ${}f{\left(c\right)}\leq u$. Für die oberen Intervallgrenzen gilt ${}f{\left(b_{n}\right)}\geq u$ und das überträgt sich ebenfalls auf ${}c$, also ${}f(c)\geq u$.  Also ist ${}f(c)=u$.

$\Box$

Die in diesem Beweis beschriebene Methode ist konstruktiv und kann zu einem expliziten Verfahren ausgebaut werden.

Korollar

Es seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit ${}f(a)\leq 0$ und ${}f(b)\geq 0$.

Dann gibt es ein ${}x\in \mathbb {R}$ mit ${}a\leq x\leq b$ und mit ${}f(x)=0$,

d.h. ${}f$ besitzt eine Nullstelle zwischen ${}a$ und ${}b$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

$\Box$

Beispiel

Ein regelmäßiger quadratischer Tisch mit vier Beinen ${}A,B,C,D$ steht auf einem unebenen, aber stufenfreien Untergrund. Im Moment steht er auf den Beinen ${}A,B,C$ und das Bein ${}D$ ragt in die Höhe (wenn man ${}B,C$ in ihrer Position belässt und ${}D$ auf den Boden drückt, würde ${}A$ versinken). Wir behaupten, dass man den Tisch durch eine (maximal Viertel)-Drehung um die eigene Achse (sagen wir gegen den Uhrzeigersinn) in eine Position bringen kann, wo er auf allen vier Beinen steht (wobei der Tisch nicht unbedingt genau horizontal stehen muss). Dazu betrachten wir die Funktion, die einem Drehwinkel (zwischen ${}0$ und ${}90$ Grad) die Höhe des Beines ${}D$ über dem Grund zuordnet, wenn die drei übrigen Beine auf dem Boden stehen (würden). Dabei kann diese Höhe auch negativ werden (was sich bei einem sandigen Untergrund praktisch realisieren lässt; sonst denke man sich dies „virtuell“). Bei ${}0$ Grad ist die Höhe positiv. Bei ${}90$ Grad erhält man eine Situation, die symmetrisch zur Ausgangssposition ist, wobei aber nach wie vor die Beine ${}A,B,C$ auf dem Boden sein sollen. Wegen der in der Klammer formulierten Beobachtung muss die Höhe von ${}D$ negativ sein. Die Funktion hat also auf dem Intervall ${}[0,90]$ sowohl positive als auch negative Werte. Da sie wegen der Stufenfreiheit stetig ist, besitzt sie nach dem Zwischenwertsatz auch eine Nullstelle.

Beispiel

Die Abbildung

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto x^{2}-2,$

ist stetig, sie genügt aber nicht dem Zwischenwertsatz. Für ${}x=0$ ist ${}f(0)=-2<0$ und für ${}x=2$ ist ${}f(2)=2>0$, es gibt aber kein ${}x\in \mathbb {Q}$ mit ${}f(x)=0$, da dafür ${}x^{2}=2$ sein muss, wofür es in ${}\mathbb {Q}$ keine Lösung gibt. Der Zwischenwertsatz funktioniert also nur für reelle Zahlen.

Mit der im Beweis des Zwischenwertsatzes verwendeten Intervallhalbierungsmethode kann man insbesondere auch Quadratwurzeln „ausrechnen“, also Folgen angeben, die gegen die Quadratwurzel konvergieren. Die Konvergenzgeschwindigkeit beim babylonischen Wurzelziehen ist aber deutlich höher.

Korollar

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion.

Dann ist auch das Bild ${}f(I)$ ein Intervall.

Beweis

Sei ${}J=f(I)$. Aus dem Zwischenwertsatz folgt sofort, dass wenn ${}y,z\in J$ sind und ${}u\in \mathbb {R}$ mit ${}y\leq u\leq z$ gegeben ist, auch ${}u\in J$ sein muss. Nach Aufgabe ist ${}J$ ein Intervall.

$\Box$