Zyklische Gruppe/Darstellungstheorie/Beispiele/Textabschnitt

Eine endliche zyklische Gruppe ${}\mathbb {Z} /(r)$ lässt sich auf unterschiedliche Weise als Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe ${}\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ bzw. ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ auffassen, wie die folgenden Beispiele zeigen.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper, der eine ${}r$-te primitive Einheitswurzel ${}\zeta$ besitzt. Dann ist die Untergruppe

${}\mu _{r}{\left(K\right)}:={\left\{\zeta ^{i}\mid i=0,1,\ldots ,r-1\right\}}\subseteq K^{\times }\,$

eine zyklische Gruppe der Ordnung ${}r$. Somit ist die Zuordnung

$\mathbb {Z} /(r)\longrightarrow K^{\times },\,i\longmapsto \zeta ^{i},$

eine (treue) eindimensionale Darstellung einer zyklischen Gruppe.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}G=\mathbb {Z} /(r)$.  Der Erzeuger ${}1$ operiert auf ${}\mathbb {Z} /(r)$ durch Addition mit ${}1$, die zugehörige Permutation (auf ${\{1,\ldots ,r\}}$) ist also durch ${}k\mapsto k+1$ (und $r\mapsto 1$) gegeben. Die zugehörige Permutationsmatrix ist

${\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&1\\1&0&0&\ldots &0\\0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&1&0\end{pmatrix}}.$

Somit ist die Zuordnung

$\mathbb {Z} /(r)\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)},\,i\longmapsto {\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&1\\1&0&0&\ldots &0\\0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&1&0\end{pmatrix}}^{i},$

die reguläre Darstellung der zyklischen Gruppe.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}\in K$  seien Einheitswurzeln. Dann ist

${\left\{{\begin{pmatrix}\zeta _{1}^{i}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\zeta _{2}^{i}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\zeta _{n-1}^{i}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\zeta _{n}^{i}\end{pmatrix}}\mid i=0,1,\ldots \right\}},$

eine zyklische Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$. Ihre Ordnung ist das kleinste gemeinsame Vielfache (nennen wir es ${}r$) der Ordnungen der ${}\zeta _{j}$. Die Zuordnung

$\mathbb {Z} /(r)\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)},\,i\longmapsto {\begin{pmatrix}\zeta _{1}^{i}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\zeta _{2}^{i}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\zeta _{n-1}^{i}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\zeta _{n}^{i}\end{pmatrix}},$

ist eine ${}n$-dimensionale Darstellung einer zyklischen Gruppe.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper, der eine ${}r$-te primitive Einheitswurzel ${}\zeta$ besitzt. Dann ist die Untergruppe

${\left\{{\begin{pmatrix}\zeta ^{i}&0\\0&\zeta ^{-i}\end{pmatrix}}\mid i=0,1,\ldots ,r-1\right\}},$

der speziellen linearen Gruppe ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(K\right)}$ eine zyklische Gruppe der Ordnung ${}r$. Die Zuordnung

$\mathbb {Z} /(r)\longrightarrow \operatorname {SL} _{2}\!{\left(K\right)},\,i\longmapsto {\begin{pmatrix}\zeta ^{i}&0\\0&\zeta ^{-i}\end{pmatrix}},$

ist eine zweidimensionale Darstellung einer zyklischen Gruppe.

Beispiel

Eine jede invertierbare Matrix  ${}M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$  endlicher Ordnung über einem Körper ${}K$ erzeugt eine endliche zyklische Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe. Ihre Determinante muss eine Einheitswurzel sein, deren Ordnung die Ordnung der Matrix teilt. Auch die Eigenwerte einer solchen Matrix müssen Einheitswurzeln sein, siehe Aufgabe. Wie das reelle Beispiel ${}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$ zeigt, muss eine Matrix endlicher Ordnung weder diagonalisierbar noch trigonalisierbar sein. Über einem endlichen Körper besitzt jede invertierbare Matrix eine endliche Ordnung.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik  ${}p>0$.  Dann bilden die Matrizen

${\left\{{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}\mid a\in \mathbb {Z} /(p)\right\}}$

eine zyklische Untergruppe der ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(K\right)}$ mit ${}p$ Elementen.