Zyklische Gruppe/Darstellungstheorie/Beispiele/Textabschnitt
Eine endliche zyklische Gruppe lässt sich auf unterschiedliche Weise als Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe bzw. auffassen, wie die folgenden Beispiele zeigen.
Beispiel
Es sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel besitzt. Dann ist die Untergruppe
eine zyklische Gruppe der Ordnung . Somit ist die Zuordnung
eine (treue) eindimensionale Darstellung einer zyklischen Gruppe.
Beispiel
Es sei ein Körper und . Der Erzeuger operiert auf durch Addition mit , die zugehörige Permutation ist also durch (und ) gegeben. Die zugehörige Permutationsmatrix ist
Somit ist die Zuordnung
die reguläre Darstellung der zyklischen Gruppe.
Beispiel
Es sei ein Körper und seien Einheitswurzeln. Dann ist
eine zyklische Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe . Ihre Ordnung ist das kleinste gemeinsame Vielfache (nennen wir es ) der Ordnungen der . Die Zuordnung
ist eine -dimensionale Darstellung einer zyklischen Gruppe.
Beispiel
Es sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel besitzt. Dann ist die Untergruppe
der speziellen linearen Gruppe eine zyklische Gruppe der Ordnung ist. Die Zuordnung
ist eine zweidimensionale Darstellung einer zyklischen Gruppe.
Beispiel
Eine jede invertierbare Matrix endlicher Ordnung über einem Körper erzeugt eine endliche zyklische Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe. Ihre Determinante muss eine Einheitswurzel sein, deren Ordnung die Ordnung der Matrix teilt. Auch die Eigenwerte einer solchen Matrix müssen Einheitswurzeln sein. Wie das reelle Beispiel zeigt, muss eine Matrix endlicher Ordnung weder diagonalisierbar noch trigonalisierbar sein. Über einem endlichen Körper besitzt jede invertierbare Matrix eine endliche Ordnung.
Beispiel
Es sei ein Körper der positiven Charakteristik . Dann bilden die Matrizen
eine zyklische Untergruppe der mit Elementen.