Affiner Raum/Einführung/Textabschnitt

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Untervektorräume eines Vektorraums enthalten stets die . Eine Gerade , die nicht durch den Nullpunkt verläuft, ist also kein Untervektorraum. Dennoch handelt es sich um ein „lineares Objekt“, das im Rahmen der linearen Algebra studiert werden soll.


Definition  

Es sei ein Vektorraum. Unter einem affinen Unterraum von versteht man (die leere Menge oder) eine Teilmenge der Form

wobei ein Untervektorraum und ein Vektor ist.

Den Punkt nennt man auch den Aufpunkt und den Untervektorraum den Translationsraum oder Verschiebungsraum oder Parallelvektorraum oder einfach den zugrunde liegenden Untervektorraum. Die Punkte im affinen Raum stellt man sich als Ortspunkte, die Punkte aus als Verschiebungsvektoren vor. Man kann sich darüber streiten, ob man die leere Menge als affinen (Unter)raum gelten lassen möchte, die folgende Bemerkung, die Definition und Fakt sprechen aber dafür.

Bemerkung  

Die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem in Variablen ist ein affiner Unterraum von , und zwar ist der zugrunde liegende Vektorraum der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen Gleichungssystem.



Beispiel  

Zu einer linearen Abbildung

zwischen -Vektorräumen und und einem Element ist das Urbild zu (die Faser zu )

ein affiner Unterraum von . Im nichtleeren Fall kann man jeden Punkt mit

als Aufpunkt verwenden. Der Verschiebungsraum ist dann gerade der Kern von . Durch eine lineare Abbildung wird in eine geschichtete Familie von zueinander parallelen affinen Unterräumen zerlegt.


Die Wirkungsweise einer Parallelverschiebung in der Ebene auf eine Teilmenge.

Eine weitere Überlegung führt zu einem weiteren abstrakten Begriff. Den Anschauungsraum kann man mit Koordinaten versehen und dadurch mit dem identifizieren. Dabei muss man insbesondere willkürlich einen Punkt des Raumes als auszeichnen. Der natürliche Anschauungsraum besitzt keine natürliche Null und auch keine natürliche Addition von Punkten. Dennoch ist der Anschauungsraum mit einem Vektorraum eng verbunden, nämlich dem Vektorraum aller (Parallel-)Verschiebungen des Raumes. Eine solche Verschiebung ist eine elementargeometrische Konstruktion, bei der jeder Punkt des Raumes um einen bestimmten Richtungsvektor verschoben wird. Eine solche Verschiebung ist durch jeden Punkt zusammen mit seinem Bildpunkt festgelegt. Die Menge all dieser Verschiebungen bildet einen Vektorraum, wobei die Addition durch Hintereinanderausführung der Verschiebungen gegeben ist. Die Nullverschiebung ist die Identität. Wenn man einen Punkt des Raumes fixiert, so ergibt sich eine Bijektion zwischen dem Raum und dem Vektorraum der Verschiebungen, indem man den Verschiebungsvektor an anlegt. Eine solche Fixierung nennt man auch Wahl eines Ursprungs.


Definition  

Ein affiner Raum über einem -Vektorraum ist eine Menge zusammen mit einer Abbildung

die den drei Bedingungen

  1. für alle ,
  2. für alle und ,
  3. Zu je zwei Punkten gibt es genau einen Vektor mit ,

genügt.

Diese Addition nennt man affine Addition oder Translation. Der zu zwei Punkten eindeutig bestimmte Translationsvektor (oder Verschiebungsvektor oder Verbindungsvektor) wird mit bezeichnet. Es gelten, neben , die Regeln

  1. für .
  2. für .
  3. für ,

wobei dies Identitäten im Vektorraum sind, siehe Aufgabe.

Die Gesamtabbildung

kann man unter verschiedenen Aspekten betrachten. Zu jedem Punkt ist die Abbildung

eine Bijektion zwischen dem zugrunde liegenden Vektorraum und dem affinen Raum. Diese Bijektion ist aber nicht kanonisch, da sie von dem gewählten Punkt abhängt. Jeder Vektor definiert die Abbildung

die die Translation oder Verschiebung auf um den Vektor heißt. Die Abbildung

ordnet einem Punktepaar ihren (eindeutig bestimmten) Verbindungsvektor zu. Statt schreibt man manchmal auch .

Jeder Vektorraum ist auch ein affiner Raum über sich selbst mit der Vektorraumaddition als Addition. Ein affiner Unterraum im Sinne von Definition ist ein affiner Raum über .


Beispiel  

Die homogene lineare Gleichung

hat den Lösungsraum

und die inhomogene lineare Gleichung

hat die Lösungsmenge

Die affine Addition ist die Abbildung

die einem Paar bestehend aus einer Lösung der homogenen Gleichung und einer Lösung der inhomogenen Gleichung ihre Summe zuordnet, die eine Lösung der inhomogenen Gleichung ist. Zu zwei Lösungen der inhomogenen Gleichung ist die Differenz eine Lösung der homogenen Gleichung. Zu

ist beispielsweise

eine weitere Lösung aus . Die beiden Lösungen und aus werden durch den Verbindungsvektor

ineinander überführt.