Der Satz vom primitiven Element/Zwischenkörperversion und separabel/Textabschnitt

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Lemma  

Es sei eine endliche einfache Körpererweiterung und ein Zwischenkörper. Es sei das Minimalpolynom von über .

Dann ist .

Beweis  

Wir gehen von der Inklusion aus. Die Körpererweiterung ist ebenfalls einfach mit dem Erzeuger , und ist irreduzibel, da es ja irreduzibel in ist. Somit ist nach Fakt auch das Minimalpolynom von über . Daher ist und und insbesondere

Nach der Gradformel, angewendet auf , folgt .



Satz  

Es sei eine endliche Körpererweiterung.

Dann ist genau dann eine einfache Körpererweiterung, wenn es nur endlich viele Zwischenkörper gibt.

Beweis  

Wenn ein endlicher Körper ist, so ist auch endlich und die Voraussetzung über die endlich vielen Zwischenkörper ist automatisch erfüllt. In diesem Fall ist aber auch nach Fakt die Körpererweiterung einfach. Wir können also annehmen, dass unendlich ist. Es sei zunächst vorausgesetzt, dass es in nur endlich viele Zwischenkörper gibt. Sei . Jeder von verschiedene Zwischenkörper , , ist ein maximal -dimensionaler -Untervektorraum von und daher gibt es eine von verschiedene -lineare Abbildung

mit . Zu gehört ein lineares Polynom (in Variablen) mit der entsprechenden Eigenschaft. Das Polynom ist dann auf der Vereinigung aller Zwischenkörper gleich . Da unendlich ist, gibt es aber nach Aufgabe auch Elemente mit . Der von einem solchen Element über erzeugte Körper muss gleich sein, da er nach Konstruktion in keinem anderen Zwischenkörper liegt.

Es sei nun

eine einfache Körpererweiterung mit dem Minimalpolynom . Für jeden Zwischenkörper , , ist und das Minimalpolynom von über ist in und insbesondere in ein Teiler von . Nach Fakt besteht die Beziehung , wobei die die Koeffizienten von sind. Da in nur endlich viele (normierte) Teiler besitzt, gibt es nur endlich viele Zwischenkörper.



Korollar  

Es sei eine endliche einfache Körpererweiterung und ein Zwischenkörper.

Dann ist auch eine einfache Körpererweiterung.

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Fakt, da ja unter der Voraussetzung auch nur endlich viele Zwischenkörper besitzt.


Der folgende Satz heißt Satz vom primitiven Element.


Satz  

Sei eine endliche separable Körpererweiterung. Dann wird von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein mit

mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom .

Beweis  

Bei endlich folgt die Aussage sofort aus Fakt, wir können also als unendlich annehmen. Es sei . Es genügt zu zeigen, dass man sukzessive zwei Erzeuger davon durch einen Erzeuger ersetzen kann. Dabei ist ebenfalls separabel. Es sei also gegeben und . Es sei eine Körpererweiterung, unter der die Minimalpolynome von und von in Linearfaktoren zerfallen. Es gibt gemäß Fakt -Einbettungen

Wir betrachten das Polynom

das zu gehört. Dies ist nicht das Nullpolynom, da keiner der Linearfaktoren gleich ist. Daher besitzt nur endlich viele Nullstellen und somit gibt es, da unendlich ist, ein mit . Die Elemente sind alle verschieden. Aus für folgt nämlich , und wäre doch eine Nullstelle von . Es gibt also verschiedene Einbettungen von nach und insbesondere ist , also ist .