Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow Y$ eine differenzierbare Kurve mit ${}\gamma (a)=P$ und ${}\gamma (b)=Q$. Dann ist der Paralleltransport längs ${}\gamma$ eine Isometrie

   $T_{P}Y\longrightarrow T_{Q}Y.$

2. Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine orientierte Fläche und sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

   ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von ${}Y$ mit den Parametern ${}u,v$. Es sei ${}{\left(g_{ij}\right)}$ die erste Fundamentalmatrix auf ${}V$.

   Dann gilt für die Gaußsche Krümmung unter Verwendung der Christoffelsymbole die Beziehung

   $K={\frac {1}{g_{11}}}{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}\right)}\,.$

3. Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins.

Zur gelösten Aufgabe