Ebene projektive Kurve/Körper/Glatt/Einführung/Textabschnitt

Ein Punkt ${}P\in C=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ einer ebenen projektiven Kurve liegt stets auch in einer affin-algebraischen Umgebung. Wegen ${}P=(a,b,c)\neq (0,0,0)$ ist zumindest eine Koordinate ${}\neq 0$, bei ${}c\neq 0$ liegt der Punkt auf

${}V_{+}(F)\cap D_{+}(Z)=V({\tilde {F}})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,,$

wobei ${}{\tilde {F}}$ hier die Dehomogenisierung von ${}F$ bezüglich der dritten Variablen bezeichnet. In dieser Situation kann man den Punkt ${}P$ auf Glattheit im Sinne der Definition untersuchen. Es stellt sich heraus, dass es dabei nicht darauf ankommt, in welcher affinen Umgebung man die Glattheit überprüft, siehe Aufgabe.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Eine ebene projektive Kurve ${}C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ zu einem homogenen Polynom ${}F\in K[X,Y,Z]$ heißt glatt, wenn sie in jedem ${}L$-Punkt ${}P\in C_{L}\subseteq {\mathbb {P} }_{L}^{2}$ glatt ist.

Lemma

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}p\geq 0$ und sei ${}C=V_{+}(X^{d}+Y^{d}+Z^{d})\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ die Fermat-Kurve vom Grad ${}d$. Die Charakteristik sei kein Teiler von ${}d$.

Dann ist ${}C$ eine glatte Kurve.

Beweis

Da Glattheit eine lokale Eigenschaft ist, können wir mit einem beliebigen affinen Ausschnitt argumentieren. Da die Situation symmetrisch ist, können wir uns auf das affine Teilstück

${}V(X^{d}+Y^{d}+1)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

beschränken. Die partiellen Ableitungen sind $dX^{d-1}$ und $dY^{d-1}$. Aufgrund der Voraussetzung über die Charakteristik ist ${}d\neq 0$, so dass beide Ableitungen nur bei ${}x=y=0$ verschwinden. Dieser Punkt gehört aber nicht zur Kurve.

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Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, sei ${}G\in K[X,Z]$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}d+1$, das in (homogen) verschiedene homogene Linearfaktoren der Form ${}\alpha _{i}X+\beta _{i}Z$ mit ${}\alpha _{i}\neq 0$ zerfalle. Es sei ${}d\in \mathbb {N} _{+}$ kein Vielfaches der Charakteristik von ${}K$.

Dann ist die durch die Gleichung ${}Y^{d}Z=G(X,Z)$ gegebene projektive Kurve glatt.

Beweis

Auf der offenen Menge ${}D_{+}(Z)$ erhält man die in Fakt beschriebene Situation, diese Punkte sind also glatt. Auf dem Komplement ${}V_{+}(Z)$ wird die Gleichung zu

${}0=G(X,0)=\alpha X^{d+1}\,$

mit einem Vorfaktor ${}\alpha \neq 0$, woraus ${}X=0$ folgt. Es gibt also nur noch den weiteren Punkt ${}P$ mit den Koordinaten ${}(0,1,0)$. Eine affine Umgebung dieses Punktes ist ${}D_{+}(Y)$, die affine Version der Gleichung auf diesem Teilstück ist ${}Z=G(X,Z)$. Die partielle Ableitung nach ${}Z$ ist ${}1+\sum \gamma _{ij}X^{i}Z^{j}$ mit ${}i+j=d$. Im Nullpunkt, der dem Punkt ${}P$ entspricht, ist dies gleich ${}1$, daher ist dies auch ein glatter Punkt.

$\Box$