Eigentheorie/Kern/Linear unabhängig/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ -Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung.

Dann ist

${}\operatorname {kern} \varphi =\operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}\,.$

Insbesondere ist ${}0$ genau dann ein Eigenwert von ${}\varphi$ , wenn ${}\varphi$ nicht injektiv ist.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Allgemeiner gilt die folgende Charakterisierung.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ -Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \in K$ .

Dann ist

${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\operatorname {kern} {\left(\lambda \cdot \operatorname {Id} _{V}-\varphi \right)}\,.$

Sei ${}v\in V$ . Dann ist ${}v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ genau dann, wenn ${}\varphi (v)=\lambda v$ ist, und dies ist genau bei ${}\lambda v-\varphi (v)=0$ der Fall, was man als ${}{\left(\lambda \cdot \operatorname {Id} _{V}-\varphi \right)}(v)=0$ schreiben kann.

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Bemerkung

Neben dem Eigenraum zu ${}0\in K$ , der der Kern der linearen Abbildung ist, sind die Eigenwerte ${}1$ und ${}-1$ besonders interessant. Der Eigenraum zu ${}1$ besteht aus allen Vektoren, die auf sich selbst abgebildet werden. Auf diesem Untervektorraum wirkt also die Abbildung wie die Identität, man nennt ihn den Fixraum. Der Eigenraum zu ${}-1$ besteht aus allen Vektoren, die auf ihr Negatives abgebildet werden. Auf diesem Untervektorraum wirkt die Abbildung wie eine Punktspiegelung.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ -Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Es seien ${}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ Elemente in ${}K$ .

Dann ist

${}\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\cap \operatorname {Eig} _{\lambda _{2}}{\left(\varphi \right)}=0\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ -Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ Eigenvektoren zu (paarweise) verschiedenen Eigenwerten ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$ .

Dann sind ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig.

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach ${}n$ . Für ${}n=0$ ist die Aussage richtig. Es sei die Aussage also für weniger als ${}n$ Vektoren bewiesen. Betrachten wir eine Darstellung der ${}0$ , also

{}a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}=0\,.

Wir wenden darauf ${}\varphi$ an und erhalten einerseits

{}a_{1}\varphi (v_{1})+\cdots +a_{n}\varphi (v_{n})=\lambda _{1}a_{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}v_{n}=0\,.

Andererseits multiplizieren wir die obige Gleichung mit ${}\lambda _{n}$ und erhalten

{}\lambda _{n}a_{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}v_{n}=0\,.

Die so entstandenen Gleichungen zieht man voneinander ab und erhält

{}(\lambda _{n}-\lambda _{1})a_{1}v_{1}+\cdots +(\lambda _{n}-\lambda _{n-1})a_{n-1}v_{n-1}=0\,.

Aus der Induktionsvoraussetzung folgt, dass alle Koeffizienten ${}(\lambda _{n}-\lambda _{i})a_{i}=0$ , ${}i=1,\ldots ,n-1$ , sein müssen. Wegen ${}\lambda _{n}-\lambda _{i}\neq 0$ folgt ${}a_{i}=0$ für ${}i=1,\ldots ,n-1$ und wegen ${}v_{n}\neq 0$ ist dann auch ${}a_{n}=0$ .