Elliptische Kurve/Gruppenstruktur/Torsionspunkte/Einführung/Textabschnitt

Zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ist die zugehörige elliptische Kurve ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ eine Gruppe, die als topologische Gruppe isomorph zu ${}S^{1}\times S^{1}$. Auf dieser Ebene sind also alle elliptischen Kurven über ${}{\mathbb {C} }$ untereinander gleich. Die Gruppenstruktur kann man insbesondere dadurch verstehen, dass man

${}S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} \,$

versteht. Eine reelle Zahl ${}r$ definiert in ${}S^{1}$ genau dann das Nullelement, wenn ${}r\in \mathbb {Z}$ ist. Eine reelle Zahl ${}r$ definiert in ${}S^{1}$ genau dann ein Torsionselement, wenn ${}r\in \mathbb {Q}$ ist. Wenn ${}r={\frac {m}{n}}$ eine gekürzte Darstellung ist, dann ist ${}n$ die Ordnung von ${}[r]$ in ${}S^{1}$. Wenn die Darstellung nicht notwendigerweise gekürzt ist, so ist ${}n$ ein Vielfaches der Ordnung. Insbesondere sind zu gegebenem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die verschiedenen Elemente ${}[{\frac {0}{n}}],[{\frac {1}{n}}],[{\frac {2}{n}}],\ldots ,[{\frac {n-1}{n}}]$ diejenigen Elemente, deren Ordnung ein Vielfaches von ${}n$ ist. Diese bilden eine Untergruppe der Kreisgruppe, die aus ${}n$ Elementen besteht, und isomorph zur zyklischen Gruppe ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist.

Lemma

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.

Dann ist die Torsionsuntergruppe ${}\operatorname {Tor} _{n}{\left({\mathbb {C} }/\Gamma \right)}$ zur Ordnung ${}n$ des komplexen Torus ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)$ und besteht aus ${}n^{2}$ Elementen.

Beweis

Dies folgt direkt aus ${}{\mathbb {C} }/\Gamma \cong S^{1}\times S^{1}$.

$\Box$

Bei ${}\Gamma =\langle w_{1},w_{2}\rangle$ kann man die Torsionsuntergruppe ${}\operatorname {Tor} _{n}{\left({\mathbb {C} }/\Gamma \right)}$ explizit als ${}[{\frac {i}{n}}w_{1}+{\frac {j}{n}}w_{2}]$, ${}0\leq i,j\leq n-1$, angeben.

Wenn eine elliptische Kurve über einem beliebigen Körper ${}K$ definiert ist, so ist die Menge der ${}K$-Punkte eine kommutative Gruppe. Wenn ${}K\subseteq L$ ein Erweiterungskörper ist, so ist auch die Menge der ${}L$-Punkte der Kurve eine kommutative Gruppe, die typischerweise aus mehr Elementen besteht, also

${}E(K)\subseteq E(L)\,.$

Es gibt im Allgemeinen auch mehr Torsionselement über ${}L$ als über ${}K$.

Lemma

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$ der Charakteristik ${}\neq 2$ mit der affinen Gleichung ${}y^{2}=h(x)$ mit einem kubischen Polynom ${}h(x)$ ohne mehrfache Nullstelle.

Dann sind die Punkte der Ordnung ${}2$ die Punkte ${}(a,0,1)$, wobei ${}a$ die Nullstellen von ${}h$ durchläuft. Insbesondere ist

${}{\#\left(\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(K)\right)}\right)}\leq 4\,.$

Bei ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist ${}\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(K)\right)}\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.

Beweis

Die Bedingung

${}P+P={\mathfrak {O}}=(0,1,0)\,$

bedeutet, dass die Tangente durch ${}P$ durch ${}{\mathfrak {O}}$ verläuft. Die Geraden durch ${}{\mathfrak {O}}$ sind neben der unendlich fernen Geraden durch die affinen Gleichungen ${}X=c$ mit einem ${}c\in K$ gegeben. Die (Richtung der) Tangente zu ${}(a,b)$ ist nach Bemerkung als Kern von ${}\left(h'(a),\,2b\right)$ gegeben, also durch die Gleichung ${}h'(a)X-2bY=0$. Übereinstimmung gibt es bei ${}b=0$, was wegen der Kurvengleichung erfordert, dass ${}a$ eine Nullstelle von ${}h$ ist.

$\Box$

Satz

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$. Es sei ${}n$ teilerfremd zur Charakteristik von ${}K$.

Dann gilt für die Torsionsuntergruppen zur Ordnung ${}n$ die Isomorphie

${}\operatorname {Tor} _{n}{\left(E(K)\right)}\cong \mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)\,.$

Ohne die Voraussetzung der Teilerfremdheit gilt

${}{\#\left(\operatorname {Tor} _{n}{\left(E(K)\right)}\right)}\leq n^{2}\,.$

Beweis

Die Abbildung

$[n]\colon E\longrightarrow E,\,P\longmapsto nP,$

ist eine Isogenie und besitzt nach Fakt den Grad ${}n^{2}$. Daher besteht ihr Kern als eine Faser maximal aus ${}n^{2}$ Elementen. Unter der numerischen Bedingung ist die Isogenie nach Fakt separabel und daher besteht ihr Kern nach Fakt aus ${}n^{2}$ Elementen. Da der Kern eine kommutative ${}n$-Torsionsgruppe ist, muss es sich nach Aufgabe um ${}\mathbb {Z} /(n)\times \mathbb {Z} /(n)$ handeln.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$.

Dann gilt für die Torsionsuntergruppen zur Ordnung ${}n$ die Abschätzung

${}{\#\left(\operatorname {Tor} _{n}{\left(E(K)\right)}\right)}\leq n^{2}\,.$

Beweis

Dies folgt aus Fakt, indem man die elliptische Kurve über ${}{\overline {K}}$ betrachtet.

$\Box$

Wenn ${}E$ über einem Körper ${}K$ definiert, so muss man zwischen den über ${}K$ und den über ${}{\overline {K}}$ definierten Torsionspunkten unterscheiden. Wir bezeichnen die in einem algebraischen Abschluss von ${}K$ gewonnenen ${}n$-Torsionspunkte mit ${}E[n]$, also

${}E[n]=\operatorname {Tor} _{n}{\left(E({\overline {K}})\right)}\,.$