Euklidische Räume/Winkeltreue Abbildungen/Fokus auf C/Textabschnitt

Definition

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

zwischen euklidischen Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ heißt winkeltreu, wenn für je zwei Vektoren ${}u,v\in V$ die Beziehung

${}\angle (\varphi (u),\varphi (v))=\angle (u,v)\,$

gilt.

Da Winkel nur für von ${}0$ verschiedene Vektoren definiert sind, müssen winkeltreue Abbildungen injektiv sein. Eine Isometrie ist insbesondere winkeltreu, da ja sowohl die Norm als auch der Winkel unter Bezug auf das Skalarprodukt definiert werden und dieses sich bei einer Isometrie nicht ändert. Weitere Beispiele für winkeltreue Abbildungen sind Streckungen um einen von ${}0$ verschiedenen Streckungsfaktor, siehe Aufgabe. Bei einer winkeltreuen Abbildung werden insbesondere zueinander orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren abgebildet. Für eine reell-lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C}$

kann man die Winkeltreue auch dadurch ausdrücken, dass

${}{\frac {\operatorname {Re} \,{\left(\varphi (v)\cdot {\overline {\varphi (w)}}\right)}}{\vert {\varphi (v)}\vert \cdot \vert {\varphi (w)}\vert }}={\frac {\operatorname {Re} \,{\left(v\cdot {\overline {w}}\right)}}{\vert {v}\vert \cdot \vert {w}\vert }}\,$

gilt, da ja der Kosinus in dem angegebenen Bereich bijektiv ist.

Bemerkung  

Bei einer winkeltreuen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

zwischen euklidischen Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ werden nicht nur die Winkel am Nullpunkt, sondern überhaupt alle Winkel erhalten. Für Punkte ${}P,Q,R\in V$ stimmt ja der Winkel des Dreiecks an ${}Q$ wegen

${}\angle (P,Q,R)=\angle ({\overrightarrow {QP}},{\overrightarrow {QR}})=\angle (\varphi ({\overrightarrow {QP}}),\varphi ({\overrightarrow {QR}}))=\angle ({\overrightarrow {\varphi (Q)\varphi (P)}}),{\overrightarrow {\varphi (Q)\varphi (R)}})=\angle (\varphi (P),\varphi (Q),\varphi (R))\,$

mit dem Winkel an ${}\varphi (Q)$ des Bilddreiecks ${}\varphi (P),\varphi (Q),\varphi (R)$ überein.

Beispiel

Es sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine ${}{\mathbb {C} }$-lineare Abbildung, die durch die Multiplikation mit der komplexen Zahl

${}z=a+b{\mathrm {i} }\neq 0\,$

gestiftet wird. Bezüglich der reellen Basis ${}1,{\mathrm {i} }$ von ${}{\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}$ wird diese Abbildung durch die reelle ${}2\times 2$-Matrix

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$

beschrieben. Diese schreiben wir als

${}{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}&0\\0&{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}&-{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}&{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\end{pmatrix}}\,.$

Somit liegt die Hintereinanderschaltung von einer Isometrie (einer Drehung) und einer Streckung mit dem Streckungsfaktor

${}\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

und insbesondere eine winkeltreue Abbildung

vor.  Dies folgt auch aus

${}{\frac {\operatorname {Re} \,{\left(zv\cdot {\overline {zw}}\right)}}{\vert {zv}\vert \cdot \vert {zw}\vert }}={\frac {\operatorname {Re} \,{\left(z\cdot {\overline {z}}\cdot v\cdot {\overline {w}}\right)}}{\vert {z}\vert ^{2}\vert {v}\vert \cdot \vert {w}\vert }}={\frac {\operatorname {Re} \,{\left(v\cdot {\overline {w}}\right)}}{\vert {v}\vert \cdot \vert {w}\vert }}\,.$

Beispiel

Die komplexe Konjugation

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\overline {z}},$

ist eine ${}\mathbb {R}$-lineare Isometrie. Für das reelle Skalarprodukt auf ${}{\mathbb {C} }$ ist ja

${}{\begin{aligned}\left\langle {\overline {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}},{\overline {\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}}\right\rangle &=\left\langle {\begin{pmatrix}a\\-b\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}c\\-d\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=ac+bd\\&=\left\langle {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}\right\rangle .\end{aligned}}$

Daher liegt insbesondere eine winkeltreue Abbildung vor. Die Winkeltreuheit kann man auch direkt aus

${}{\frac {\operatorname {Re} \,{\left({\overline {v}}\cdot {\overline {\overline {w}}}\right)}}{\vert {\overline {v}}\vert \cdot \vert {\overline {w}}\vert }}={\frac {\operatorname {Re} \,{\left({\overline {v}}\cdot w\right)}}{\vert {v}\vert \cdot \vert {w}\vert }}={\frac {\operatorname {Re} \,{\left(v\cdot {\overline {w}}\right)}}{\vert {v}\vert \cdot \vert {w}\vert }}\,$

folgern.

Satz

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine winkeltreue lineare Abbildung auf dem euklidischen Vektorraum ${}V$.

Dann gibt es eine Isometrie

$\psi \colon V\longrightarrow V$

und eine Streckung

$\sigma \colon V\longrightarrow V$

mit

${}\varphi =\sigma \circ \psi \,.$

Beweis

Es sei

${}r=\det \varphi \,$

und es sei

${}s:={\sqrt[{n}]{\vert {r}\vert }}\,,$

wobei ${}n$ die Dimension von ${}V$ sei. Es sei ${}\sigma$ die Streckung mit dem Faktor ${}s$ und wir betrachten die Abbildung

${}\psi :=\sigma ^{-1}\circ \varphi \,.$

Diese Abbildung ist nach wie vor winkeltreu und ihre Determinante ist ${}1$ oder ${}-1$. Nach Aufgabe ist ${}\psi$ eine Isometrie.

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Lemma

Es sei

$L\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine ${}\mathbb {R}$-lineare, winkeltreue Abbildung.

Dann ist entweder

${}L=\mu \,$

oder

${}L=C\circ \mu \,,$

wobei ${}C$ die komplexe Konjugation und ${}\mu$ die Multiplikation mit einer komplexen Zahl ${}\neq 0$ bezeichnet.

Beweis

Durch eine komplexe Konjugation kann man davon ausgehen, dass die Determinante eine positive reelle Zahl ${}r$ ist. Durch die reelle Streckung mit dem Faktor ${}{\frac {1}{\sqrt {r}}}$ kann man davon ausgehen, dass eine winkeltreue lineare Abbildung mit Determinante ${}1$ vorliegt. Nach Fakt haben wir eine reelle Isometrie, und nach Fakt liegt eine ebene Drehung vor. Diese sind die Multiplikation mit einer komplexen Zahl vom Betrag ${}1$.

$\Box$