Garben/Homomorphismen/Textabschnitt

Ein Garbenmorphismus ist einfach ein Prägarbenmorphismus zwischen Garben. Dennoch gibt es einige gewichtige Besonderheiten, die sich auf Surjektivität, Bild, lokaler Isomorphietest beziehen.

Lemma

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Garbenmorphismus.

Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. $\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}{\left(U\right)}\longrightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$

   ist injektiv für jede offene Menge  ${}U\subseteq X$. 

2. Die Halmabbildungen

   $\varphi _{P}\colon {\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {G}}_{P}$

   sind injektiv für alle Punkte  ${}P\in X$. 

Beweis

Es seien ${}s_{P}$ und ${}t_{P}$ Keime aus ${}{\mathcal {F}}_{P}$ mit  ${}\varphi _{P}(s_{P})=\varphi _{P}(t_{P})$.  Wir können davon ausgehen, dass beide durch Schnitte  ${}s,t\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$  auf einer offenen Umgebung ${}U$ von ${}P$ repräsentiert werden. Aufgrund der Gleichheit im Halm zu ${}{\mathcal {G}}$ gibt es eine offene Umgebung  ${}P\in U'\subseteq U$  mit  ${}\varphi _{U'}(s)=\varphi _{U'}(t)$  in ${}{\mathcal {G}}{\left(U'\right)}$. Aus der Voraussetzung folgt  ${}s=t$  in ${}{\mathcal {F}}{\left(U'\right)}$ und damit auch im Halm zu ${}P$.

Zum Beweis der Rückrichtung seien Schnitte  ${}s,t\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$  mit  ${}\varphi (s)=\varphi (t)$  in ${}{\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ gegeben. Dann ist  ${}\varphi (s)_{P}=\varphi (t)_{P}$  in jedem Halm ${}{\mathcal {G}}_{P}$ zu  ${}P\in U$  und damit nach Voraussetzung (unter Verwendung von Fakt) auch  ${}s_{P}=t_{P}$  in jedem Halm ${}{\mathcal {F}}_{P}$. Aus Fakt folgt  ${}s=t$. 

$\Box$

Lemma

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Garbenmorphismus.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann ein Garbenisomorphismus, wenn für jeden Punkt  ${}P\in X$  die Halmabbildung

$\varphi _{P}\colon {\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {G}}_{P}$

ein Isomorphismus ist.

Beweis

Die Hinrichtung ist trivial. Für die Rückrichtung ist zu zeigen, dass

${\mathcal {F}}{\left(U\right)}\longrightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$

für jede offene Teilmenge  ${}U\subseteq X$  bijektiv ist. Ohne Einschränkung sei  ${}U=X$.  Die Injektivität ergibt sich aus Fakt. Zum Nachweis der Surjektivität sei nun  ${}t\in {\mathcal {G}}{\left(X\right)}$  vorgegeben. Zu jedem Punkt  ${}P\in X$  gibt es ein eindeutiges

${}s_{P}\in {\mathcal {F}}_{P}\,$

mit

${}\varphi _{P}(s_{P})=t_{P}\,.$

Jedes ${}s_{P}$ wird repräsentiert durch ein

${}r_{P}\in {\mathcal {F}}{\left(U_{P}\right)}\,,$

wobei ${}U_{P}$ eine offene Umgebung von ${}P$ bezeichnet. Dabei hat ${}\varphi (r_{P})$ die Eigenschaft, dass es im Halm ${}{\mathcal {G}}_{P}$ mit ${}t_{P}$ übereinstimmt. Daher gibt es eine eventuell kleinere offene Umgebung  ${}P\in V_{P}\subseteq U_{P}$,  auf der  ${}\varphi {\left(r_{P}\right)}{|}_{V_{P}}=t{|}_{V_{P}}$  gilt. Wir ersetzen ${}U_{P}$ durch ${}V_{P}$ und haben eine offene Überdeckung

${}X=\bigcup _{P\in X}V_{P}\,$

und Schnitte

${}r_{P}\in {\mathcal {F}}{\left(V_{P}\right)}\,,$

die jeweils auf ${}t{|}_{V_{P}}$ abbilden. Wir betrachten zwei Schnitte ${}r_{P}$ und ${}r_{Q}$ auf dem Durchschnitt ${}V_{P}\cap V_{Q}$. Für einen Punkt

${}Z\in V_{P}\cap V_{Q}\,$

ist  ${}(r_{P})_{Z}=(r_{Q})_{Z}$,  da beide unter der bijektiven Abbildung ${}\varphi _{Z}$ auf ${}t_{Z}$ abgebildet werden. Nach Fakt folgt

${}r_{P}{|}_{V_{P}\cap V_{Q}}=r_{Q}{|}_{V_{P}\cap V_{Q}}\,.$

Somit gibt es aufgrund der zweiten Garbeneigenschaft ein globales Element  ${}r\in {\mathcal {F}}{\left(X\right)}$  mit

${}r{|}_{V_{P}}=r_{P}\,$

für alle ${}P$. Wegen der ersten Garbeneigenschaft ist  ${}\varphi (r)=t$,  da dies auf den ${}V_{P}$ gilt.

$\Box$

Diese Aussage gilt weder für Prägarben (man betrachte beispielsweise eine Vergarbung einer Prägarbe) noch ohne die Voraussetzung, dass es überhaupt einen Homomorphismus gibt. Zwei Garben, die halmweise zueinander isomorph sind, müssen nicht isomorph sein. Wichtige Beispiele dazu sind lokal freie Garben, die lokal isomorph zu freien Garben sind, aber im Allgemeinen selbst nicht frei sind.

Es ist auf den ersten Blick sicher überraschend und vielleicht auch enttäuschend, dass sich bei einem Garbenmorphismus die Surjektivität auf der Ebene der offenen Mengen und auf der Halmebene unterscheiden. Was aber zunächst wie ein Defizit aussieht, ist in Wirklichkeit eine Stärke der Garbentheorie, da sich in der globalen Nichtsurjektivität von halmweise surjektiven Morphismen topologische Eigenschaften des zugrunde liegenden Raumes widerspiegeln.

Definition

Ein Garbenmorphismus ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ zwischen Garben auf einem topologischer Raum ${}X$ heißt surjektiv, wenn für jeden Punkt  ${}P\in X$  die Halmabbildung

$\varphi _{P}\colon {\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {G}}_{P}$

surjektiv ist.

Diese Eigenschaft ist deutlich schwächer als die Eigenschaft, dass auf jeder offenen Menge eine surjektive Abbildung vorliegt.

Beispiel

Wir betrachten den stetigen Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right),$

also die periodische trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises. Dies induziert einen Garbenmorphismus

$C^{0}(-,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(-,S^{1})$

auf jedem topologischen Raum ${}X$. Einer stetigen reellwertigen Funktion ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ auf  ${}U\subseteq X$  wird die Hintereinanderschaltung

$\varphi \circ f\colon U\longrightarrow S^{1}$

zugeordnet. Dieser Garbenmorphismus ist surjektiv, da ${}\varphi$ lokal umkehrbar ist. Er ist aber im Allgemeinen nicht auf jeder offenen Teilmenge surjektiv. Wenn beispielsweise  ${}X=S^{1}$  ist, so besitzt die Identität auf ${}S^{1}$ keine stetige Liftung nach ${}\mathbb {R}$