Gitter/Komplexe Zahlen/Imaginär-quadratischer Zahlbereich/Komplexe Multiplikation/Textabschnitt

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Es sei ein imaginär-quadratischer Zahlbereich, d.h. es gibt eine negative quadratfreie Zahl , die eine quadratische Körpererweiterung

und einen zugehörigen Zahlbereich definiert. Dabei gilt

und

siehe Fakt. Man kann als komplexe Zahl (und zwar als rein-imaginäre Zahl) realisieren und erhält dadurch eine Einbettung . Wir fixieren eine solche Einbettung, die andere Einbettungsmöglichkeit ist dazu komplex-konjugiert. Als kommutative Gruppe ist in beiden Fällen isomorph zu , was unmittelbar aus der expliziten Beschreibung folgt. Dies gilt auch für jedes von verschiedene Ideal in , siehe Fakt oder allgemeiner Fakt, und somit ergibt ein Ideal ein Gitter in . Zu diesem Gitter kann man die elliptische Kurve bilden. Wir fragen uns, inwiefern diese elliptischen Kurven besonders sind und wie man in ihnen den Ring wiederfinden kann.



Satz  

Es sei ein imaginär-quadratischer Zahlbereich, ein von verschiedenes Ideal und

der zugehörige komplexe Torus.

Dann ist der Endomorphismusring von .

Beweis  

Zu ist die Multiplikation mit ein -Modulhomomorphismus

Dies definiert nach Fakt bei eine Isogenie

und bei die Nullabbildung. Dies ergibt eine Zuordnung

Diese respektiert die Addition und die Multiplikation, ist also ein Ringhomomorphismus. Diese ist injektiv, da bei die auf dem Torus induzierte Abbildung nach Fakt nicht die Nullabbildung ist (sondern sogar surjektiv). Eine Isogenie

rührt her von einer Multiplikation

mit mit . Daraus folgt direkt und damit mit Fakt auch .




Satz  

Es sei ein imaginär-quadratischer Zahlbereich, seien von verschiedene Ideale und bzw. die zugehörigen komplexen Tori.

Dann sind und genau dann isomorph, wenn und die gleiche Idealklasse definieren.

Beweis  

Es sei mit bzw. mit . Wir können dann direkt mit annehmen. Die Multiplikation mit der komplexen Zahl induziert ein kommutatives Diagramm (wobei wir die Ideale als Gitter auffassen)

wobei die horizontalen Abbildungen Gruppenisomorphismen sind. Dies induzieren einen Isomorphismus von komplexen Liegruppen

vergleiche Fakt.

Wenn umgekehrt die elliptischen Kurven äquivalent sind, so sind nach Fakt die beiden Gitter und streckungsäquivalent, d.h. es gibt eine komplexe Zahl mit . Zu einem von verschiedenen Element ist somit insbesondere und somit ist . Dies bedeutet aber bereits, dass die beiden Ideale die gleiche Idealklasse definieren.


Wenn ein durch gegebenes Gitter ist, so handelt es sich um das Ideal in einem quadratischen Zahlbereich (allerdings nicht notwendigerweise normal), wenn eine quadratische Gleichung über erfüllt.