Gitter/Komplexe Zahlen/Imaginär-quadratischer Zahlbereich/Komplexe Multiplikation/Textabschnitt

Es sei ${}R$ ein imaginär-quadratischer Zahlbereich, d.h. es gibt eine negative quadratfreie Zahl ${}D$, die eine quadratische Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq K=\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{2}-D\right)}\,$

und einen zugehörigen Zahlbereich ${}A_{D}$ definiert. Dabei gilt

$A_{D}={\mathbb {Z} }[{\sqrt {D}}],{\text{ wenn }}D=2,3\mod 4$

und

$A_{D}={\mathbb {Z} }[{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}],{\text{ wenn }}D=1\mod 4,$

siehe Fakt. Man kann ${}{\sqrt {D}}$ als komplexe Zahl (und zwar als rein-imaginäre Zahl) realisieren und erhält dadurch eine Einbettung ${}A_{D}\subseteq K\subseteq {\mathbb {C} }$. Wir fixieren eine solche Einbettung, die andere Einbettungsmöglichkeit ist dazu komplex-konjugiert. Als kommutative Gruppe ist in beiden Fällen ${}A_{D}$ isomorph zu ${}\mathbb {Z} ^{2}$, was unmittelbar aus der expliziten Beschreibung folgt. Dies gilt auch für jedes von ${}0$ verschiedene Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in ${}A_{D}$, siehe Fakt oder allgemeiner Fakt, und somit ergibt ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Gitter in ${}{\mathbb {C} }$. Zu diesem Gitter kann man die elliptische Kurve ${}{\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}$ bilden. Wir fragen uns, inwiefern diese elliptischen Kurven besonders sind und wie man in ihnen den Ring ${}A_{D}$ wiederfinden kann.

Satz

Es sei ${}A$ ein imaginär-quadratischer Zahlbereich, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq A$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal und

${}E={\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}\,$

der zugehörige komplexe Torus.

Dann ist ${}A$ der Endomorphismenring von ${}E$.

Beweis

Zu ${}f\in A$ ist die Multiplikation mit ${}f$ ein ${}A$-Modulhomomorphismus

${\mathfrak {a}}\longrightarrow {\mathfrak {a}},\,x\longmapsto fx.$

Dies definiert nach Fakt bei ${}f\neq 0$ eine Isogenie

${\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}\longrightarrow {\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}$

und bei ${}f=0$ die Nullabbildung. Dies ergibt eine Zuordnung

$A\longrightarrow \operatorname {End} _{}{\left({\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}\right)}.$

Diese respektiert die Addition und die Multiplikation, ist also ein Ringhomomorphismus. Diese ist injektiv, da bei ${}f\neq 0$ die auf dem Torus induzierte Abbildung nach Fakt nicht die Nullabbildung ist (sondern sogar surjektiv). Eine Isogenie

${\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}\longrightarrow {\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}$

rührt her von einer Multiplikation

$\cdot f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

mit ${}f\in {\mathbb {C} }$ mit ${}f\cdot {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {a}}$. Daraus folgt direkt ${}f\in Q(A)$ und damit mit Fakt auch ${}f\in A$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}A$ ein imaginär-quadratischer Zahlbereich, seien ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq A$ von ${}0$ verschiedene Ideale und ${}E={\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}$ bzw. ${}F={\mathbb {C} }/{\mathfrak {b}}$ die zugehörigen komplexen Tori.

Dann sind ${}E$ und ${}F$ genau dann isomorph, wenn ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ die gleiche Idealklasse definieren.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {a}}=q{\mathfrak {b}}$ mit ${}q\in Q(A)$ bzw. ${}r{\mathfrak {a}}=s{\mathfrak {b}}$ mit ${}r,s\in A$. Wir können dann direkt ${}r{\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}$ mit ${}r\in A$ annehmen. Die Multiplikation mit der komplexen Zahl ${}r$ induziert ein kommutatives Diagramm (wobei wir die Ideale als Gitter auffassen)

${\begin{matrix}{\mathfrak {a}}&{\stackrel {\cdot r}{\longrightarrow }}&{\mathfrak {b}}&\\\downarrow &&\downarrow &\\{\mathbb {C} }&{\stackrel {\cdot r}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

wobei die horizontalen Abbildungen Gruppenisomorphismen sind. Dies induzieren einen Isomorphismus von komplexen Liegruppen

${\mathbb {C} }/{\mathfrak {a}}\longrightarrow {\mathbb {C} }/{\mathfrak {b}},$

vergleiche Fakt.

Wenn umgekehrt die elliptischen Kurven äquivalent sind, so sind nach Fakt die beiden Gitter ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ streckungsäquivalent, d.h. es gibt eine komplexe Zahl ${}r$ mit ${}r{\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}$. Zu einem von ${}0$ verschiedenen Element ${}f\in {\mathfrak {a}}$ ist somit insbesondere ${}rf\in {\mathfrak {b}}\subseteq A$ und somit ist ${}r\in Q(A)$. Dies bedeutet aber bereits, dass die beiden Ideale die gleiche Idealklasse definieren.

$\Box$

Wenn ${}\Gamma$ ein durch ${}1,\tau$ gegebenes Gitter ist, so handelt es sich um das Ideal in einem quadratischen Zahlbereich (allerdings nicht notwendigerweise normal), wenn ${}\tau$ eine quadratische Gleichung über ${}\mathbb {Q}$ erfüllt.