Gruppe/Operation auf Integritätsbereich/Quotientenkörper/Textabschnitt

Proposition

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einem Integritätsbereich ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Der Invariantenring ${}R^{G}$ ist ein Integritätsbereich.
2. Die Operation induziert eine Operation von ${}G$ auf dem Quotientenkörper ${}Q(R)$ als Gruppe von Körperautomorphismen.
3. Es ist ${}Q{\left(R^{G}\right)}\subseteq (Q(R))^{G}$.
4. Es ist

   ${}R\cap (Q(R))^{G}=R^{G}\,.$

Beweis

(1) ist wegen ${}R^{G}\subseteq R$ klar.
(2). Es sei ${}K=Q(R)$ der Quotientenkörper von ${}R$. Zu jedem ${}\sigma \in G$ setzt sich der Ringautomorphismus ${}f\mapsto f\sigma$ aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme zu einem Körperautomorphismus ${}{\frac {f}{g}}\mapsto {\frac {f\sigma }{g\sigma }}$ fort.
(3). Ein Element aus dem Quotientenkörper ${}Q{\left(R^{G}\right)}$ hat die Form ${}{\frac {f}{g}}$ mit invarianten Elementen ${}f,g\in R^{G}$. Es ist also insbesondere invariant unter der induzierten Operation auf ${}K$. Daher gilt ${}Q{\left(R^{G}\right)}\subseteq (Q(R))^{G}$.
(4). Die Inklusion ${}R^{G}\subseteq R\cap Q(R)^{G}$ ist direkt klar. Die andere Inklusion ergibt sich, da die Operation von ${}G$ auf ${}Q(R)$ eingeschränkt auf ${}R$ die ursprüngliche Operation ist. Wenn also ${}f\in R$ ist und aufgefasst in ${}Q(R)$ invariant ist, so ist es überhaupt invariant.

$\Box$

Bei einer endlichen Gruppe gilt in Fakt  (3) sogar Gleichheit, wie die folgende Aussage zeigt.

Lemma

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf einem Integritätsbereich als Gruppe von Ringautomorphismen operiere.

Dann ist

${}Q{\left(R^{G}\right)}=(Q(R))^{G}\,.$

Beweis

Die Inklusion ${}Q{\left(R^{G}\right)}\subseteq (Q(R))^{G}$ gilt nach Fakt  (3) für jede Gruppe. Zum Beweis der Umkehrung seien ${}f,g\in R$, ${}g\neq 0$, mit ${}{\frac {f}{g}}\in (Q(R))^{G}$ gegeben. Wir betrachten

${}h=\prod _{\sigma \in G,\,\sigma \neq e_{G}}g\sigma \,.$

Dann gelten in ${}Q(R)$ die Identitäten

${}{\begin{aligned}{\frac {f}{g}}&={\frac {hf}{hg}}\\&={\frac {hf}{{\left(\prod _{\sigma \in G,\,\sigma \neq e_{G}}g\sigma \right)}g}}\\&={\frac {hf}{\prod _{\sigma \in G}g\sigma }}.\end{aligned}}$

Nach Voraussetzung ist der Bruch und in dieser Darstellung offenbar auch der Nenner (siehe Aufgabe) invariant. Also muss auch der Zähler invariant sein und somit ist ${}{\frac {f}{g}}\in {\left(R^{G}\right)}$.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper. Wir betrachten auf ${}R=K[X,Y]$ die Operation von ${}K^{\times }$ durch skalare Multiplikation. Zu ${}\lambda \in K^{\times }$ gehört also der durch ${}X\mapsto \lambda X,\,Y\mapsto \lambda Y$ gegebene ${}K$-Algebrahomomorphismus. Der Invariantenring dazu ist ${}K$, also ein Körper. Der Quotientenkörper von ${}K[X,Y]$ ist der Funktionenkörper ${}K(X,Y)$ in zwei Variablen. Sein Invariantenring unter der Operation ist ${}K{\left({\frac {X}{Y}}\right)}$, also der Funktionenkörper in einer Variablen. In dieser Situation gilt also

${}Q{\left(R^{G}\right)}\neq (Q(R))^{G}\,.$