Hauptidealbereich/Polynomring über Körper/Prim und irreduzibel/Einführung/Textabschnitt
Definition
Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.
Satz
Ein Polynomring über einem Körper
ist ein Hauptidealbereich.
Beweis
Es sei ein von verschiedenes Ideal in . Betrachte die nichtleere Menge
![{\displaystyle {}K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7861df9df3d7463835d927c4d0d4c27f5e2f8416)
Diese Menge hat ein Minimum , das von einem Element , , herrührt, sagen wir . Wir behaupten, dass ist. Die Inklusion ist klar. Zum Beweis von sei gegeben. Aufgrund von Fakt gilt
Wegen und der Minimalität von kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist und ist ein Vielfaches von .
Die beiden folgenden Aussagen nennt man Lemma von Bezout bzw. Lemma von Euklid.
Lemma
Es sei ein Hauptidealbereich und seien teilerfremde Elemente.
Dann kann man die als Linearkombination von und darstellen, d.h. es gibt Elemente mit .
Beweis
Wir betrachten das von und erzeugte Ideal . Da ein Hauptidealbereich ist, gibt es ein mit . Daher ist ein Teiler von und von . Die Teilerfremdheit impliziert, dass eine Einheit ist. Wegen gibt es eine Darstellung . Multiplikation mit ergibt die Darstellung der .
Lemma
Es sei ein Hauptidealbereich und . Es seien und teilerfremd und teile das Produkt . Dann teilt den Faktor .
Beweis
Da und teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout Elemente mit . Die Voraussetzung, dass das Produkt teilt, schreiben wir als . Damit gilt
was zeigt, dass ein Vielfaches von ist.
Korollar
Es sei ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,
wenn es irreduzibel ist.
Beweis
Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach Fakt stets irreduzibel. Es sei also umgekehrt irreduzibel, und nehmen wir an, dass das Produkt teilt, sagen wir . Nehmen wir an, dass kein Vielfaches von ist. Dann sind aber und teilerfremd, da eine echte Inklusionskette der Irreduzibilität von widerspricht. Damit teilt nach dem Lemma von Euklid den anderen Faktor .
