Holomorphe Funktion/Punktiert/Residuum/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei

$f\colon U{\left(P,r\right)}\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion auf einer punktierten Kreisscheibe. Es sei ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}$ die Laurent-Entwicklung von ${}f$. Dann nennt man den Koeffizienten ${}c_{-1}$ das Residuum von ${}f$ in ${}P$. Es wird mit ${}\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)$ bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ und

$f\colon U\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine auf einer punktierten offenen Umgebung von ${}P$ definierte holomorphe Funktion.

Dann gilt

${}\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }f(z)dz\,,$

wobei ${}\gamma$ ein einfacher Umlaufweg um ${}P$ ist.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

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Lemma

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und ${}P\in U$ ein Punkt. Dann erfüllt das Residuum die folgenden Eigenschaften.

1. Für eine holomorphe Funktion ${}f$ auf ${}U$ ist

   ${}\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)=0\,.$

2. Es ist

   ${}\operatorname {Res} _{P}\left({\frac {1}{z-P}}\right)=1\,.$

3. Für ${}n\geq 2$ ist

   ${}\operatorname {Res} _{P}\left({\frac {1}{{\left(z-P\right)}^{n}}}\right)=0\,.$

4. Die Abbildung

   ${\left\{f\mid f:U\setminus \{P\}\rightarrow {\mathbb {C} }{\text{ holomorph}}\right\}}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,f\longmapsto \operatorname {Res} _{P}\left(f\right),$

   ist ${}{\mathbb {C} }$-linear.

Beweis

Dies ist in allen Fällen aus den Laurent-Reihen der Funktionen ablesbar, (4) ergibt sich aus Fakt.

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Die folgende Charakterisierung wird manchmal auch als Definition für das Residuum verwendet, da man für sie nicht die Existenz der Laurent-Entwicklung voraussetzen muss.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}P\in U$ ein Punkt und sei ${}f\colon U\setminus \{P\}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.

Dann ist das Residuum von ${}f$ in ${}P$ diejenige eindeutig bestimmte Zahl ${}r$ mit der Eigenschaft, dass ${}f(z)-r{\frac {1}{z-P}}$ lokal eine Stammfunktion besitzt.

Beweis

Es sei

${}f(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}=c_{-1}(z-P)^{-1}+\sum _{n\in \mathbb {Z} ,\,n\neq -1}c_{n}(z-P)^{n}\,$

die Laurent-Entwicklung von ${}f$ in ${}P$. Entsprechend ist

$f(z)-r{\frac {1}{z-P}}={\left(c_{-1}-r\right)}(z-P)^{-1}+\sum _{n\in \mathbb {Z} ,\,n\neq -1}c_{n}(z-P)^{n}\,.$

Die hintere Summe besitzt lokal nach Fakt und nach Aufgabe eine Stammfunktion. Daher besitzt wegen Beispiel die Gesamtfunktion genau dann eine Stammfunktion, wenn der vordere Term gleich ${}0$ ist, also bei ${}c_{-1}=r$.

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Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}P\in U$ ein Punkt und sei ${}f\colon U\setminus \{P\}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.

Dann ist das Residuum von ${}f$ in ${}P$ genau dann gleich ${}0$, wenn ${}f(z)$ lokal in einer punktierten Umgebung von ${}P$ eine Stammfunktion besitzt.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

$\Box$