Ideale und Nullstellengebilde/Grundlegende Eigenschaften/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, ${}j\in J$, eine Familie von Polynomen in ${}n$ Variablen. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ das von den ${}F_{j}$ erzeugte Ideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Dann ist

${}V(F_{j},j\in J)=V({\mathfrak {a}})\,.$

Beweis

Das Ideal ${}c{\mathfrak {a}}$ besteht aus allen Linearkombinationen der ${}F_{j}$ und enthält insbesondere alle ${}F_{j}$. Daher ist die Inklusion ${}V(F_{j},j\in J)\supseteq V({\mathfrak {a}})$ klar. Für die umgekehrte Inklusion sei ${}P\in V(F_{j},j\in J)$ und sei ${}H\in {\mathfrak {a}}$. Dann ist ${}H=\sum _{i=1}^{k}A_{i}F_{j_{i}}$ (mit ${}A_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$) und somit ist

${}H(P)=\sum _{i=1}^{k}A_{i}(P)F_{j_{i}}(P)=0\,,$

also verschwindet jedes Element aus dem Ideal im Punkt ${}P$. Daher ist ${}P\in V({\mathfrak {a}})$.

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Wir können also im Folgenden bei jeder Nullstellenmenge davon ausgehen, dass sie durch ein Ideal gegeben ist.

Lemma

Für Ideale ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}$ in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gilt ${}V({\mathfrak {a}})\supseteq V({\mathfrak {b}})$ für die zugehörigen Nullstellengebilde.

Beweis

Es sei ${}P\in V({\mathfrak {b}})$. D.h. für jedes ${}F\in {\mathfrak {b}}$ ist ${}F(P)=0$. Dann ist erst recht ${}F(P)=0$ für jedes ${}F\in {\mathfrak {a}}$.

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Affin-algebraische Teilmengen des affinen Raumes erfüllen einige wichtige strukturelle Eigenschaften.

Proposition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen und sei ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ der zugehörige affine Raum. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}V(0)={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$, d.h. der ganze affine Raum ist eine affin-algebraische Menge.
2. Es ist ${}V(1)=\emptyset$, d.h. die leere Menge ist eine affin-algebraische Menge.
3. Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{k}$ affin-algebraische Mengen mit ${}V_{i}=V({\mathfrak {a}}_{i})$. Dann gilt

   ${}V_{1}\cup V_{2}\cup \ldots \cup V_{k}=V({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k})\,.$

   Insbesondere ist die Vereinigung von endlich vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

4. Es seien ${}V_{i}$, ${}i\in I$, affin-algebraische Mengen mit ${}V_{i}=V({\mathfrak {a}}_{i})$. Dann gilt

   ${}\bigcap _{i\in I}V_{i}=V{\left(\sum _{i\in I}{\mathfrak {a}}_{i}\right)}\,.$

   Insbesondere ist der Durchschnitt von beliebig vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

Beweis

(1) und (2) sind klar, da das konstante Polynom ${}0$ überall und das konstante Polynom ${}1$ nirgendwo verschwindet.

(3). Es sei ${}P$ ein Punkt in der Vereinigung, sagen wir ${}P\in V({\mathfrak {a}}_{1})$. D.h. ${}f(P)=0$ für jedes Polynom ${}f\in {\mathfrak {a}}_{1}$. Ein beliebiges Element aus dem Produktideal ${}{\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k}$ hat die Gestalt

${}h=\sum _{j=1}^{m}r_{j}f_{1j}\cdot f_{2j}\cdots f_{kj}\,$

mit ${}f_{ij}\in {\mathfrak {a}}_{i}$. Damit ist ${}h(P)=0$, da stets ${}f_{1j}(P)=0$ gilt, also gehört ${}P$ zum rechten Nullstellengebilde. Gehört hingegen ${}P$ nicht zu der Vereinigung links, so ist ${}P\not \in V({\mathfrak {a}}_{i})$ für alle ${}i=1,\ldots ,k$. D.h. es gibt ${}f_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}$ mit ${}f_{i}(P)\neq 0$. Dann ist aber ${}(f_{1}f_{2}\cdots f_{k})(P)\neq 0$ und ${}f_{1}f_{2}\cdots f_{k}\in {\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2}\cdots {\mathfrak {a}}_{k}$, sodass ${}P$ nicht zur Nullstellenmenge rechts gehören kann.

(4). Es sei ${}P\in \mathbb {A} _{K}^{n}$. Dann ist ${}P\in V({\mathfrak {a}}_{i})$ für alle ${}i\in I$ genau dann, wenn ${}f(P)=0$ ist für alle ${}f\in {\mathfrak {a}}_{i}$ und für alle ${}i\in I$. Dies ist genau dann der Fall, wenn ${}f(P)=0$ ist für alle ${}f$ aus der Summe dieser Ideale.

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