Ideale und Nullstellengebilde/Grundlegende Eigenschaften/Textabschnitt

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Lemma  

Es sei ein Körper und sei , , eine Familie von Polynomen in Variablen. Es sei das von den erzeugte Ideal in . Dann ist

Beweis  

Das Ideal besteht aus allen Linearkombinationen der und enthält insbesondere alle . Daher ist die Inklusion klar. Für die umgekehrte Inklusion sei und sei . Dann ist (mit ) und somit ist

also verschwindet jedes Element aus dem Ideal im Punkt . Daher ist .


Wir können also im Folgenden bei jeder Nullstellenmenge davon ausgehen, dass sie durch ein Ideal gegeben ist.



Lemma  

Für Ideale in gilt für die zugehörigen Nullstellengebilde.

Beweis  

Sei . D.h. für jedes ist . Dann ist erst recht für jedes .


Affin-algebraische Teilmengen des affinen Raumes erfüllen einige wichtige strukturelle Eigenschaften.



Proposition  

Es sei ein Körper, der Polynomring in Variablen und sei der zugehörige affine Raum. Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Es ist , d.h. der ganze affine Raum ist eine affin-algebraische Menge.
  2. Es ist , d.h. die leere Menge ist eine affin-algebraische Menge.
  3. Es seien affin-algebraische Mengen mit . Dann gilt

    Insbesondere ist die Vereinigung von endlich vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

  4. Es seien , , affin-algebraische Mengen mit . Dann gilt
    Insbesondere ist der Durchschnitt von beliebig vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

Beweis  

(1) und (2) sind klar, da das konstante Polynom überall und das konstante Polynom nirgendwo verschwindet.

(3). Sei ein Punkt in der Vereinigung, sagen wir . D.h. für jedes Polynom . Ein beliebiges Element aus dem Produktideal hat die Gestalt

mit . Damit ist , da stets gilt, also gehört zum rechten Nullstellengebilde. Gehört hingegen nicht zu der Vereinigung links, so ist für alle . D.h. es gibt mit . Dann ist aber und , so dass nicht zur Nullstellenmenge rechts gehören kann.

(4). Sei . Dann ist für alle genau dann, wenn ist für alle und für alle . Dies ist genau dann der Fall, wenn ist für alle aus der Summe dieser Ideale.


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