Ideale und Nullstellengebilde/Grundlegende Eigenschaften/Textabschnitt

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Lemma  

Sei ein Körper und sei , , eine Familie von Polynomen in Variablen. Es sei das von den erzeugte Ideal in . Dann ist

Beweis  

Das Ideal besteht aus allen Linearkombinationen der und enthält insbesondere alle . Daher ist die Inklusion klar. Für die umgekehrte Inklusion sei und sei . Dann ist (mit ) und somit ist

also verschwindet jedes Element aus dem Ideal im Punkt . Daher ist .


Wir können also im Folgenden bei jeder Nullstellenmenge davon ausgehen, dass sie durch ein Ideal gegeben ist.



Lemma  

Für Ideale in gilt für die zugehörigen Nullstellengebilde.

Beweis  

Sei . D.h. für jedes ist . Dann ist erst recht für jedes .


Affin-algebraische Teilmengen des affinen Raumes erfüllen einige wichtige strukturelle Eigenschaften.



Proposition  

Sei ein Körper, der Polynomring in Variablen und sei der zugehörige affine Raum. Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. , d.h. der ganze affine Raum ist eine affin-algebraische Menge.
  2. , d.h. die leere Menge ist eine affin-algebraische Menge.
  3. Es seien affin-algebraische Mengen mit . Dann gilt

    Insbesondere ist die Vereinigung von endlich vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

  4. Es seien , , affin-algebraische Mengen mit . Dann gilt
    Insbesondere ist der Durchschnitt von beliebig vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.

Beweis  

(1) und (2) sind klar, da das konstante Polynom überall und das konstante Polynom nirgendwo verschwindet.

(3). Sei ein Punkt in der Vereinigung, sagen wir . D.h. für jedes Polynom . Ein beliebiges Element aus dem Produktideal hat die Gestalt

mit . Damit ist , da stets gilt, also gehört zum rechten Nullstellengebilde. Gehört hingegen nicht zu der Vereinigung links, so ist für alle . D.h. es gibt mit . Dann ist aber und , so dass nicht zur Nullstellenmenge rechts gehören kann.

(4). Sei . Dann ist für alle genau dann, wenn ist für alle und für alle . Dies ist genau dann der Fall, wenn ist für alle aus der Summe dieser Ideale.


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