Invariantentheorie/Integritätsbereich/Galoistheorie/Ganzheit/Textabschnitt

Proposition

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einem Integritätsbereich ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Der Invariantenring ${}R^{G}$ ist ein Integritätsbereich.
2. Die Operation induziert eine Operation von ${}G$ auf dem Quotientenkörper ${}Q(R)$ als Gruppe von Körperautomorphismen.
3. Es ist  ${}Q{\left(R^{G}\right)}\subseteq (Q(R))^{G}$. 
4. Es ist

   ${}R\cap (Q(R))^{G}=R^{G}\,.$

Beweis

(1) ist wegen  ${}R^{G}\subseteq R$  klar.
(2). Es sei  ${}K=Q(R)$  der Quotientenkörper von ${}R$. Zu jedem  ${}\sigma \in G$  setzt sich der Ringautomorphismus ${}f\mapsto f\sigma$ aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme zu einem Körperautomorphismus ${}{\frac {f}{g}}\mapsto {\frac {f\sigma }{g\sigma }}$ fort.
(3). Ein Element aus dem Quotientenkörper ${}Q{\left(R^{G}\right)}$ hat die Form ${}{\frac {f}{g}}$ mit invarianten Elementen  ${}f,g\in R^{G}$.  Es ist also insbesondere invariant unter der induzierten Operation auf ${}K$. Daher gilt  ${}Q{\left(R^{G}\right)}\subseteq (Q(R))^{G}$. 
(4). Die Inklusion  ${}R^{G}\subseteq R\cap Q(R)^{G}$  ist direkt klar. Die andere Inklusion ergibt sich, da die Operation von ${}G$ auf ${}Q(R)$ eingeschränkt auf ${}R$ die ursprüngliche Operation ist. Wenn also  ${}f\in R$  ist und aufgefasst in ${}Q(R)$ invariant ist, so ist es überhaupt invariant.

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Bei einer endlichen Gruppe gilt in Fakt  (3) sogar Gleichheit, wie die folgende Aussage zeigt.

Lemma

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf einem Integritätsbereich als Gruppe von Ringautomorphismen operiere.

Dann ist

${}Q{\left(R^{G}\right)}=(Q(R))^{G}\,.$

Beweis

Die Inklusion  ${}Q{\left(R^{G}\right)}\subseteq (Q(R))^{G}$  gilt nach Fakt  (3) für jede Gruppe. Zum Beweis der Umkehrung seien ${}f,g\in R$, ${}g\neq 0$, mit  ${}{\frac {f}{g}}\in (Q(R))^{G}$  gegeben. Wir betrachten

${}h=\prod _{\sigma \in G,\,\sigma \neq e_{G}}g\sigma \,.$

Dann gelten in ${}Q(R)$ die Identitäten

${}{\begin{aligned}{\frac {f}{g}}&={\frac {hf}{hg}}\\&={\frac {hf}{{\left(\prod _{\sigma \in G,\,\sigma \neq e_{G}}g\sigma \right)}g}}\\&={\frac {hf}{\prod _{\sigma \in G}g\sigma }}.\end{aligned}}$

Nach Voraussetzung ist der Bruch und in dieser Darstellung offenbar auch der Nenner (siehe Aufgabe) invariant. Also muss auch der Zähler invariant sein und somit ist  ${}{\frac {f}{g}}\in {\left(R^{G}\right)}$. 

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Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ durch Ringautomorphismen operiere.

Dann ist  ${}R^{G}\subseteq R$  eine ganze Erweiterung.

Beweis

Zu  ${}f\in R$  betrachten wir das Produkt

${}P=\prod _{\sigma \in G}(X-f\sigma )\in R[X]\,.$

Die Koeffizienten dieses Polynoms gehören zum Invariantenring ${}R^{G}$. Ferner ist ${}P$ normiert und es ist  ${}P(f)=0$  (da ja ${}X-fe_{G}=X-f$ ein Linearfaktor ist). Somit liefert ${}P$ eine Ganzheitsgleichung für ${}f$ über ${}R^{G}$ und daher ist  ${}R^{G}\subseteq R$  ganz.

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