Isometrie/C/Diagonalisierbarkeit/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Isometrie auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt und sei ${}U\subseteq V$ ein invarianter Unterraum.

Dann ist auch das orthogonale Komplement ${}U^{\perp }$ invariant.

Insbesondere kann man ${}\varphi$ als direkte Summe

${}\varphi =\varphi _{U}\oplus \varphi _{U^{\perp }}\,$

schreiben, wobei die Einschränkungen $\varphi _{U}$ und $\varphi _{U^{\perp }}$ ebenfalls Isometrien sind.

Beweis

Es ist

${}U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für }}{\text{alle }}u\in U\right\}}\,.$

Für ein solches ${}v\in U^{\perp }$ und ein beliebiges ${}u\in U$ ist

${}\left\langle \varphi (v),u\right\rangle =\left\langle \varphi ^{-1}(\varphi (v)),\varphi ^{-1}(u)\right\rangle =\left\langle v,u'\right\rangle =0\,,$

da ${}u'=\varphi ^{-1}(u)\in U$ wegen der Invarianz von ${}U$ liegt. Also ist wieder ${}\varphi (v)\in U^{\perp }$.

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Die folgende Aussage heißt Spektralsatz oder genauer Spektralsatz für komplexe Isometrien.

Satz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {C} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine Isometrie.

Dann besitzt ${}V$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu ${}\varphi$. Insbesondere ist ${}\varphi$ diagonalisierbar.

Beweis

Wir führen Induktion über die Dimension von ${}V$. Im eindimensionalen Fall ist die Aussage klar. Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra und Fakt besitzt ${}\varphi$ einen Eigenwert und einen Eigenvektor, den wir normieren können. Es sei ${}E\subseteq V$ die zugehörige Eigengerade. Da eine Isometrie vorliegt, ist das orthogonale Komplement ${}E^{\perp }$ nach Fakt ebenfalls ${}\varphi$-invariant, und die Einschränkung

$\varphi {|}_{E^{\perp }}\colon E^{\perp }\longrightarrow E^{\perp }$

ist ebenfalls eine Isometrie. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es also von ${}E^{\perp }$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren, die zusammen mit dem ersten Eigenvektor eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von ${}V$ bildet.

$\Box$