Isometrie/C/Diagonalisierbarkeit/Textabschnitt

Lemma

Es sei $\phi :V\to V$ eine lineare Isometrie auf einem endlichdimensionalen $𝕂$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt und sei  $U\subseteq V$  ein invarianter Unterraum.

Dann ist auch das orthogonale Komplement $U^{\perp }$ invariant.

Insbesondere kann man $\phi$ als direkte Summe

$\phi ={\phi }_U\oplus {\phi }_{U^{\perp }}$

schreiben, wobei die Einschränkungen ${\phi }_U$ und ${\phi }_{U^{\perp }}$ ebenfalls Isometrien sind.

Beweis

Es ist

$U^{\perp }=\{v\in V\mid ⟨v,u⟩=0\text{ für }\text{alle }u\in U\}.$

Für ein solches  $v\in U^{\perp }$  und ein beliebiges  $u\in U$  ist

$⟨\phi (v),u⟩=⟨{\phi }^{-1}(\phi (v)),{\phi }^{-1}(u)⟩=⟨v,u^{\prime }⟩=0,$

da  $u^{\prime }={\phi }^{-1}(u)\in U$  wegen der Invarianz von $U$ liegt. Also ist wieder  $\phi (v)\in U^{\perp }$. 

$◻$

Die folgende Aussage heißt Spektralsatz oder genauer Spektralsatz für komplexe Isometrien.

Satz

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $ℂ$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

$\phi :V⟶V$

eine Isometrie.

Dann besitzt $V$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu $\phi$.

Insbesondere ist $\phi$ diagonalisierbar.

Beweis

Wir führen Induktion über die Dimension von $V$. Im eindimensionalen Fall ist die Aussage klar. Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra und Fakt besitzt $\phi$ einen Eigenwert und einen Eigenvektor, den wir normieren können. Es sei  $E\subseteq V$  die zugehörige Eigengerade. Da eine Isometrie vorliegt, ist das orthogonale Komplement $E^{\perp }$ nach Fakt ebenfalls $\phi$-invariant, und die Einschränkung

$\phi {|}_{E^{\perp }}:E^{\perp }⟶E^{\perp }$

ist ebenfalls eine Isometrie. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es also eine Orthonormalbasis von $E^{\perp }$ aus Eigenvektoren, die zusammen mit dem ersten Eigenvektor eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $V$ bildet.

$◻$