Isometrie/Zerlegung/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}V\neq 0$ ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus.

Dann besitzt ${}V$ einen ${}\varphi$-invarianten Untervektorraum ${}U\subseteq V$ der Dimension ${}1$ oder ${}2$.

Beweis

Wir können ${}V=\mathbb {R} ^{n}$ annehmen und dass ${}\varphi$ durch die Matrix ${}M$ bezüglich der Standardbasis gegeben ist. Wenn ${}\varphi$ einen Eigenwert besitzt, so sind wir fertig. Andernfalls betrachten wir die entsprechende komplexe Abbildung, also

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n},$

die durch die gleiche Matrix ${}M$ gegeben ist. Diese besitzt einen komplexen Eigenwert ${}a+b{\mathrm {i} }$ und einen komplexen Eigenvektor ${}v\in {\mathbb {C} }^{n}$. Es ist also

${}Mv=(a+b{\mathrm {i} })v\,.$

Mit

${}v=v_{1}+{\mathrm {i} }v_{2}\,$

und ${}v_{1},v_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$ bedeutet dies

${}Mv_{1}+{\mathrm {i} }Mv_{2}=Mv=(a+b{\mathrm {i} }){\left(v_{1}+{\mathrm {i} }v_{2}\right)}=av_{1}-bv_{2}+{\mathrm {i} }(av_{2}+bv_{1})\,.$

Vergleich von Real- und Imaginärteil zeigt, dass ${}Mv_{1},Mv_{2}\in \langle v_{1},v_{2}\rangle$ sind, sodass der Untervektorraum ${}\langle v_{1},v_{2}\rangle$ invariant ist.

$\Box$

Satz

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine Isometrie auf dem euklidischen Vektorraum ${}V$.

Dann ist ${}V$ eine orthogonale direkte Summe

${}V=G_{1}\oplus \cdots \oplus G_{p}\oplus H_{1}\oplus \cdots \oplus H_{q}\oplus E_{1}\oplus \cdots \oplus E_{r}\,$

von ${}\varphi$-invarianten Untervektorräumen, wobei die ${}G_{i},H_{j}$ eindimensional und die ${}E_{k}$ zweidimensional sind. Die Einschränkung von ${}\varphi$ auf den ${}G_{i}$ ist die Identität, auf ${}H_{j}$ die negative Identität und auf ${}E_{k}$ eine Drehung ohne Eigenwerte.

Beweis

Wir führen Induktion über die Dimension von ${}V$, die mit ${}n$ bezeichnet sei. Der eindimensionale Fall ist wegen Fakt klar. Sei ${}n=2$. Die Determinante kann wegen Fakt nur die Werte ${}1$ und ${}-1$ annehmen. Bei ${}-1$ besitzt das charakteristische Polynom zwei Nullstellen, und diese müssen nach Fakt ${}1$ und ${}-1$ sein. Es liegt dann also eine Achsenspiegelung vor und

${}V=G\oplus H\,.$

Wenn die Determinante ${}1$ ist, so sind wir in der Situation von Fakt und es liegt eine Drehung vor. Wenn der Drehwinkel ${}0$ ist, so liegt die Identität vor und man kann ${}V=G_{1}\oplus G_{2}$ zerlegen, und wenn der Drehwinkel ${}\pi$ ist, so liegt die Punktspiegelung ${}-\operatorname {Id}$ vor und man kann ${}V=H_{1}\oplus H_{2}$ zerlegen. Bei den anderen Winkeln gibt es keine Eigenvektoren.

Es sei nun ${}n\geq 1$ beliebig und die Aussage für kleinere Dimensionen schon bewiesen. Nach Fakt gibt es einen ${}\varphi$-invarianten Untervektorraum ${}U$ der Dimension ${}1$ oder ${}2$ und nach Fakt gibt es dazu ein invariantes orthogonales Komplement, also

${}V=U\oplus W\,.$

Die Induktionsvoraussetzung angewendet auf ${}W$ liefert das Resultat.

$\Box$

In dieser Zerlegung ist ${}G_{1}\oplus \cdots \oplus G_{p}$ der Eigenraum zum Eigenwert ${}1$ und ${}H_{1}\oplus \cdots \oplus H_{q}$ der Eigenraum zum Eigenwert ${}-1$, wobei die jeweiligen Zerlegungen nicht eindeutig sind. Die Isometrie ist genau dann eigentlich, wenn ${}q$ gerade ist.