K-Spektrum/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Zu einer kommutativen -Algebra von endlichem Typ bezeichnet man die Menge der -Algebrahomomorphismen

als das Spektrum von . Es wird mit bezeichnet.

Die Elemente in einem -Spektrum betrachten wir als Punkte und bezeichnen sie üblicherweise mit , obwohl es definitionsgemäß Abbildungen sind, nämlich -Algebrahomomorphismen von nach . Für ein Ringelement schreiben wir dann auch einfach (statt ) für den Wert von unter dem mit bezeichneten Ringhomomorphismus (es ist nicht unüblich, einen Punkt als eine Auswertung von Funktionen anzusehen, die in einer gewissen Umgebung des Punktes definiert sind).

Das -Spektrum wird wieder mit einer Zariski-Topologie versehen, wobei zu einem Ideal (oder zu einer beliebigen Teilmenge aus ) die Teilmenge

als abgeschlossen erklärt wird. In der Tat wird dadurch eine Topologie definiert, siehe Aufgabe. Die komplementären offenen Mengen werden mit bezeichnet.



Lemma  

Sei ein Körper und sei der Polynomring in Variablen.

Dann stehen die -Algebrahomomorphismen von nach in natürlicher Weise in Bijektion mit den Punkten aus dem affinen Raum ,

und zwar entspricht dem Punkt der Einsetzungshomomorphismus . Mit anderen Worten,

Beweis  

Ein -Algebrahomomorphismus ist stets durch ein -Algebra-Erzeugendensystem festgelegt. D.h. die Werte an den Variablen legen einen -Algebrahomomorphismus von nach fest. Ein solcher Einsetzungshomomorphismus ist durch definiert. Zugleich ist hier jede Vorgabe von Werten erlaubt.



Beispiel  

Das -Spektrum zur -Algebra besteht einfach aus einem Punkt, und zwar ist die Identität der einzige -Algebrahomomorphismus von nach . Es gibt im Allgemeinen weitere Körperautomorphismen auf , doch diese sind keine -Algebrahomomorphismen.


Entscheidend ist nun der folgende Satz, der eine bijektive Beziehung zwischen dem -Spektrum von und dem Nullstellengebilde stiftet, das von einer Restklassendarstellung von herrührt.



Satz  

Sei ein Körper und sei eine endlich erzeugte kommutative -Algebra mit -Spektrum . Es sei eine Restklassendarstellung von mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus

und dem Nullstellengebilde .

Dann stiftet die Abbildung

eine Bijektion zwischen und , die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.

Beweis  

Zunächst ist die angegebene Abbildung wohldefiniert, da die Hintereinanderschaltung

einen -Algebrahomomorphismus vom Polynomring nach definiert, der nach Fakt der Einsetzungshomomorphismus zu ist und mit dem entsprechenden Punkt des affinen Raumes identifiziert werden kann (und zwar ist ).

Da der Homomorphismus durch faktorisiert, wird das Ideal auf abgebildet. D.h. der Bildpunkt liegt in , und es liegt eine Abbildung

vor, die wir als bijektiv nachweisen müssen.

Seien dazu zwei verschiedene Punkte. Es liegen also zwei verschiedene -Algebrahomomorphismen vor, und da ein -Algebrahomomorphismus auf einem -Algebra-Erzeugendensystem festgelegt ist, müssen sich die beiden auf mindestens einer Variablen unterscheiden. Dann ist aber auch der Wert der zugehörigen Koordinate verschieden, d.h. , und die Abbildung ist injektiv.

Zur Surjektivität sei ein Punkt vorgegeben. Der zugehörige -Algebrahomomorphismus

annulliert daher jedes , so dass dieser Ringhomomorphismus durch faktorisiert. Dieser Ringhomomorphismus ist das gesuchte Urbild aus .

Zur Topologie muss man einfach nur beachten, dass für und ein Urbild und einen Punkt mit Bildpunkt gilt:

so dass auch die Nullstellen übereinstimmen.


Dieser Satz besagt also, dass man jedes -Spektrum einer endlich erzeugten -Algebra mit einer Zariski-abgeschlossenen Menge eines identifizieren kann. Man spricht von einer abgeschlossenen Einbettung.



Korollar  

Sei ein Körper und eine endlich erzeugte kommutative -Algebra mit zwei Restklassendarstellungen

mit zugehörigen Nullstellengebilden und .

Dann sind die beiden Nullstellengebilde und mit ihrer induzierten Zariski-Topologie homöomorph zueinander.

Beweis  

Nach Fakt sind beide Nullstellengebilde homöomorph zu , so dass sie auch untereinander homöomorph sein müssen.