Kommutativer Ring/Assoziierter graduierter Ring/Modul/Filtration/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Zu einem Ideal in einem kommutativen Ring nennt man die direkte Summe von -Moduln

mit der durch gegebenen Multiplikation den assoziierten graduierten Ring zu .

Diese Verknüpfung ist wohldefiniert. Der assoziierte graduierte Ring ist -graduiert und von der ersten Stufe erzeugt. Diese Konstruktion erlaubt es häufig, Fragen für einen beliebigen kommutativen Ring auf eine graduierte Situation zurückzuführen. Wenn ein endlich erzeugtes Ideal ist, so ist der graduierte Ring als Algebra endlich erzeugt. Wenn ein noetherscher lokaler Ring ist und man das maximale Ideale nimmt, so erhält man eine standard-graduierte Algebra mit dem Restekörper als nullte Stufe.

Zu einem -Modul und einem Ideal besitzt die Folge der -Untermoduln

die Eigenschaften

  1. für alle .
  2. Es ist für alle .

Darüber hinaus gilt auch


Definition  

Zu einem Ideal in einem kommutativen Ring und einem -Modul heißt eine Folge () von -Untermoduln eine -Filtration, wenn die Eigenschaften

  1. für alle ,
  2. Es ist für alle ,

erfüllt sind.


Definition  

Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring und ein -Modul. Eine -Filtration von -Untermoduln heißt stabil, wenn für gilt.


Definition  

Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring und ein -Modul. Es sei eine durch die -Untermoduln gegebene -Filtration von . Dann nennt man die direkte Summe

den assoziierten graduierten Modul zur Filtration .



Lemma  

Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring und ein -Modul. Es sei eine durch die -Untermoduln gegebene -Filtration von .

Dann ist der assoziierte graduierte Modul in natürlicher Weise ein graduierter Modul über dem assoziierten graduierten Ring . Wenn der Modul endlich erzeugt und die Filtration stabil ist, so ist ein endlich erzeugter -Modul.

Beweis  

Wir gehen aus von der Multiplikation

die wegen der Filtrationsbedingung wohldefiniert ist. Wegen und induziert dies eine Abbildung

Die Gesamtheit dieser Abbildung ergibt eine Abbildung

die zu einem graduierten -Modul macht.

Zum Nachweis der endlichen Erzeugtheit sei für . Es ist dann

für . Eine Vereinigung von Erzeugern der ist ein Erzeugendensystem für den graduierten Modul.