Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktionen/Kotangentialraum/Zerlegung/Textabschnitt
Der Tangentialraum einer komplexen Mannigfaltigkeit in einem Punkt ist einfach der reelle Tangentialraum der zugrundeliegenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit, allerdings mit einer komplexen Vektorraumstruktur, die unmittelbar von der komplexen Mannigfaltigkeitsstruktur herrührt, siehe Fakt. Die Tangentialabbildung zu einer holomorphen Abbildung führt nach Fakt und insbesondere Fakt (3) zu einer -linearen Abbildung
Eine differenzierbare Abbildung führt zu einer -linearen Abbildung
Diese Abbildung respektiert nur die reelle, aber nicht die komplexe Struktur auf den beiden komplexen Vektorräumen. Nach Fakt besitzt aber jede reelle lineare Abbildung zwischen komplexen Vektorräumen eine eindeutige Summenzerlegung in eine -lineare und eine -antilineare Abbildung.
Lemma
Es sei eine (reell) differenzierbare Abbildung zwischen den komplexen Mannigfaltigkeiten und .
Dann besitzt die Tangentialabbildung
eine eindeutige Zerlegung
wobei -linear und -antilinear ist.
Beweis
Wir schreiben
und nennen die holomorphe Tangentialabbildung und die antiholomorphe Tangentialabbildung. Es ist keineswegs so, dass eine differenzierbare Abbildung (sagen wir nach ) eine Zerlegung in eine holomorphe und eine antiholomorphe Funktion besitzt, dies gilt nur auf der Ebene der Linearisierungen.
Wir wollen diese Zerlegung auf reell-differenzierbare Funktionen von nach genauer studieren. Eine reell-differenzierbare Funktion auf einer komplexen Mannigfaltigkeit definiert für jeden Punkt eine -lineare Abbildung
Diese Abbildung ist weder ein Element des komplexen Kotangentialraumes, da sie nicht -linear ist, noch ein Element des reellen Kotangentialraumes, da die Zielmenge und nicht ist. Es gibt aber eine kanonische Zerlegung
in eine -Linearform (die ein Element des komplexen Kotangentialraumes ist) und eine -antilineare Form . Diese Zerlegung erfasst man mit der folgenden Definition.
Definition
Es sei eine komplexe Mannigfaltigkeit und ein Punkt. Man nennt den komplexen Vektorraum
der -antilinearen Homomorphismen des Tangentialraumes an nach den antiholomorphen Kotangentialraum an . Er wird mit
bezeichnet.
Es ist also