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Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen

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Einführung[Bearbeiten]

Für die Erzeugung einer Algebraerweiterung von pseudokonvexen topologischen Algebren gibt es ein System von -Halbnormen, die die Topologie erzeugen. Für die Topologisierung der Potenzreihenalgebra werden die Aussagen für die Algebraerweiterung aber über Quasihalbnormen geführt. Daher ist es wesentlich einen Zusammenhang zwischen Quasihalbnormen und -Halbnormen herzustellen. Das Korrespondenz-Lemma stellt diese Beziehung zwischen einer -Halbnorm und einer Quasinorm her.

Definition: p-Norm[Bearbeiten]

Sei ein -Vektorraum und eine Abbildung. Erfüllt die folgenden Axiome Axiome P1,P2, P3, so heißt -Norm auf mit .

  • (P1) Definitheit: für alle ,
  • (P2) p-Homogenität: für alle und
  • (P3) Dreiecksungleichung: für alle .

Gilt (P1) nicht, so nennt man -Halbnorm.

Einheitskreis einer p-Norm[Bearbeiten]

Der Einheitskreis der (2/3)-Norm, einer Quasinorm, ist im eine Astroide.

Der Einheitskreis der (2/3)-Norm

Einheitskreis p-Norm als Abrollkurve[Bearbeiten]

Animation der Astroide

Aufgabe[Bearbeiten]

Sei der zweidimensionale -Vektorraum und eine Abbildung, die mit wie folgt definiert ist.

  • Zeigen Sie, dass eine -Norm ist. Warum erzeugt die -Norm die gleiche Topologie, wie die Norm ?
  • Skizzieren Sie die folgende Menge und

Hinweis: Berechnen Sie zunächst für und !

Definition: Quasi(halb-)norm[Bearbeiten]

Sei ein -Vektorraum und eine Abbildung. Erfüllt die folgenden Axiome Axiome Q1,Q2, Q3, so heißt Quasinorm auf mit Konkavitätskonstante .

  • (Q1) Definitheit: für alle ,
  • (Q2) absolute Homogenität: für alle und
  • (Q3) Konkavitätsungleichung: für alle .

Gilt (Q1) nicht, so nennt man Quasihalbnorm.

Bemerkung: konvex-konkav[Bearbeiten]

Halbnormen erzeugen konvexe Nullumgebungen ist. Die Nullumgebungen von Quasihalbnormen bzw. -Halbnormen sind nicht notwendigerweise konvex bei bzw. . Für bzw. erhält man die Standarddefinition für Halbnormen bzw. Normen. Betrachtet man den Einheitskreis einer -Norm mit , so sieht man das die Einheitskugel nicht konvex ist. Durch den Zusammenhang durch den Korrespondenz-Satz und der Konkavitätskonstante in der Definition der Quasinorm ist zu erkennen, welchen geometrischen Einfluss das auf die Konkavität der Einheitskugel der -Norm hat.

Korrespondenz-Lemma für p-Normen und Quasinormen[Bearbeiten]

Ein topologischer Vektorraum mit der Topologie , dann genau dann -normierbar, wenn die Topologie durch eine Quasinorm erzeugt werden kann.

Beweis[Bearbeiten]

Der Beweis nach Köthe[1] wird in dem Abschnitt zur -Regulärität für lokalbeschränkte Algebren ausgeführt.

Korrolar - Korrespondenz-Lemma[Bearbeiten]

Ein topologischer Vektorraum mit der Topologie . Dann gilt: Ein Teilsystem der Topologie wird genau dann durch eine -Halbnorm erzeugt, wenn das System der offenen auch durch eine Quasihalbnorm erzeugt werden kann.

Beweis[Bearbeiten]

Die Argumentation im Beweis zum Korrespondenz-Lemma für -Normen und Quasinormen nutzt die Hausdorff-Eigenschaft der Topologie nicht, die durch die Bedingung

  • bzw.

über das Norm bzw. Quasinorm ausgedrückt werden. Daher kann man die Beweisführung ebenfalls für ein Teilsystem der Topologie führen und erhält die Aussage für -Halbnormen und Quasihalbnormen.

Korrespondenz-Satz für pseudokonvexe Räume[Bearbeiten]

Ein topologischer Vektorraum mit der Topologie ist genau dann pseudokonvex, wenn die Topologie durch eine System Quasihalbnormen topologisiert werden kann

Beweis[Bearbeiten]

Betrachtet man nun eine -Algebra mit als -Halbnormensystem, so erzeugt jede einzelne p-Halbnorm mit ein lokalbeschränktes, aber nicht notwendig Hausdorff’sches, topologisches Teilsystem von offenen Mengen der Ausgangstopologie .

Beweis 1: Anwendung des Korrespondenz-Lemmas[Bearbeiten]

Dieses Teilsystem kann man mit dem Korrespondenz-Satz für -Normen und Quasinormen auch durch eine Quasihalbnorm erzeugen, denn die Hausdorff-Eigenschaft ist für die Argumentation im Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen und Quasihalbnorm nicht von Bedeutung. Damit gelten die Ergebnisse nicht nur für -Normen sondern auch für -Halbnormen. Daher man jede p-Halbnorm durch die entsprechende Quasihalbnormen ersetzen und man erzeugt durch diese Quasinorm das gleiche Teilsystem der Ausgangstopologie. Die Topologie kann auch durch ein korrespondierendes Quasihalbnormensystem erzeugt werden.

Bemerkung[Bearbeiten]

Für das Korollar wendet man den Korrespondenzsatz auf ein System mit nur einer -Norm an, das den pseudokonvexen Raum topologisiert. Der Korrespondenz-Satz für pseudokonvexe Räume liefert dann ein System mit einer Quasinorm, das die gleiche Topologie erzeugt. In den Vorgehensweisen zur -Regularität werden sowohl für

Dies bereitet die Charakterisierung der PC-Regularität über Quasihalbnnormen vor. Für die Charakterisierung reicht der Nachweis über einen der beiden Wege (p-Norm oder Quasinorm)

Siehe auch[Bearbeiten]

Quellennachweis[Bearbeiten]

  1. Köthe Gottfried (1966) Topologische Lineare Räume, Berlin Heidelberg New York

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