Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen
Einführung
[Bearbeiten]Für die Erzeugung einer Algebraerweiterung von pseudokonvexen topologischen Algebren gibt es ein System von -Halbnormen, die die Topologie erzeugen. Für die Topologisierung der Potenzreihenalgebra werden die Aussagen für die Algebraerweiterung aber über Quasihalbnormen geführt. Daher ist es wesentlich einen Zusammenhang zwischen Quasihalbnormen und -Halbnormen herzustellen. Das Korrespondenz-Lemma stellt diese Beziehung zwischen einer -Halbnorm und einer Quasinorm her.
Definition: p-Norm
[Bearbeiten]Sei ein -Vektorraum und eine Abbildung. Erfüllt die folgenden Axiome Axiome P1,P2, P3, so heißt -Norm auf mit .
- (P1) Definitheit: für alle ,
- (P2) p-Homogenität: für alle und
- (P3) Dreiecksungleichung: für alle .
Gilt (P1) nicht, so nennt man -Halbnorm.
Einheitskreis einer p-Norm
[Bearbeiten]Der Einheitskreis der (2/3)-Norm, einer Quasinorm, ist im eine Astroide.
Einheitskreis p-Norm als Abrollkurve
[Bearbeiten]Aufgabe
[Bearbeiten]Sei der zweidimensionale -Vektorraum und eine Abbildung, die mit wie folgt definiert ist.
- Zeigen Sie, dass eine -Norm ist. Warum erzeugt die -Norm die gleiche Topologie, wie die Norm ?
- Skizzieren Sie die folgende Menge und
Hinweis: Berechnen Sie zunächst für und !
Definition: Quasi(halb-)norm
[Bearbeiten]Sei ein -Vektorraum und eine Abbildung. Erfüllt die folgenden Axiome Axiome Q1,Q2, Q3, so heißt Quasinorm auf mit Konkavitätskonstante .
- (Q1) Definitheit: für alle ,
- (Q2) absolute Homogenität: für alle und
- (Q3) Konkavitätsungleichung: für alle .
Gilt (Q1) nicht, so nennt man Quasihalbnorm.
Bemerkung: konvex-konkav
[Bearbeiten]Halbnormen erzeugen konvexe Nullumgebungen ist. Die Nullumgebungen von Quasihalbnormen bzw. -Halbnormen sind nicht notwendigerweise konvex bei bzw. . Für bzw. erhält man die Standarddefinition für Halbnormen bzw. Normen. Betrachtet man den Einheitskreis einer -Norm mit , so sieht man das die Einheitskugel nicht konvex ist. Durch den Zusammenhang durch den Korrespondenz-Satz und der Konkavitätskonstante in der Definition der Quasinorm ist zu erkennen, welchen geometrischen Einfluss das auf die Konkavität der Einheitskugel der -Norm hat.
Korrespondenz-Lemma für p-Normen und Quasinormen
[Bearbeiten]Ein topologischer Vektorraum mit der Topologie , dann genau dann -normierbar, wenn die Topologie durch eine Quasinorm erzeugt werden kann.
Beweis
[Bearbeiten]Der Beweis nach Köthe[1] wird in dem Abschnitt zur -Regulärität für lokalbeschränkte Algebren ausgeführt.
Korrolar - Korrespondenz-Lemma
[Bearbeiten]Ein topologischer Vektorraum mit der Topologie . Dann gilt: Ein Teilsystem der Topologie wird genau dann durch eine -Halbnorm erzeugt, wenn das System der offenen auch durch eine Quasihalbnorm erzeugt werden kann.
Beweis
[Bearbeiten]Die Argumentation im Beweis zum Korrespondenz-Lemma für -Normen und Quasinormen nutzt die Hausdorff-Eigenschaft der Topologie nicht, die durch die Bedingung
- bzw.
über das Norm bzw. Quasinorm ausgedrückt werden. Daher kann man die Beweisführung ebenfalls für ein Teilsystem der Topologie führen und erhält die Aussage für -Halbnormen und Quasihalbnormen.
Korrespondenz-Satz für pseudokonvexe Räume
[Bearbeiten]Ein topologischer Vektorraum mit der Topologie ist genau dann pseudokonvex, wenn die Topologie durch eine System Quasihalbnormen topologisiert werden kann
Beweis
[Bearbeiten]Betrachtet man nun eine -Algebra mit als -Halbnormensystem, so erzeugt jede einzelne p-Halbnorm mit ein lokalbeschränktes, aber nicht notwendig Hausdorff’sches, topologisches Teilsystem von offenen Mengen der Ausgangstopologie .
Beweis 1: Anwendung des Korrespondenz-Lemmas
[Bearbeiten]Dieses Teilsystem kann man mit dem Korrespondenz-Satz für -Normen und Quasinormen auch durch eine Quasihalbnorm erzeugen, denn die Hausdorff-Eigenschaft ist für die Argumentation im Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen und Quasihalbnorm nicht von Bedeutung. Damit gelten die Ergebnisse nicht nur für -Normen sondern auch für -Halbnormen. Daher man jede p-Halbnorm durch die entsprechende Quasihalbnormen ersetzen und man erzeugt durch diese Quasinorm das gleiche Teilsystem der Ausgangstopologie. Die Topologie kann auch durch ein korrespondierendes Quasihalbnormensystem erzeugt werden.
Bemerkung
[Bearbeiten]Für das Korollar wendet man den Korrespondenzsatz auf ein System mit nur einer -Norm an, das den pseudokonvexen Raum topologisiert. Der Korrespondenz-Satz für pseudokonvexe Räume liefert dann ein System mit einer Quasinorm, das die gleiche Topologie erzeugt. In den Vorgehensweisen zur -Regularität werden sowohl für
- p-Normen eine Charakterisierung der -regulären Elemente vorgenommen als auch die
- P-Regularität über Algebraerweiterungen mit Quasinormen dargestellt.
Dies bereitet die Charakterisierung der PC-Regularität über Quasihalbnnormen vor. Für die Charakterisierung reicht der Nachweis über einen der beiden Wege (p-Norm oder Quasinorm)
Siehe auch
[Bearbeiten]- Normen, Metriken, Topologie
- Gaugefunktionale
- Satz - Quasinormierbarkeit
- Satz - p-Normierbarkeit
- P-Regularität
- P-Regularität über p-Normen
- P-Regularität über Quasinormen
- PC-Regularität
Quellennachweis
[Bearbeiten]- ↑ Köthe Gottfried (1966) Topologische Lineare Räume, Berlin Heidelberg New York
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