Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 24/kontrolle

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe ein Beispiel einer glatten Kurve mit einer Parametrisierung, deren Differential an mindestens einem Punkt verschwindet.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte das Achsenkreuz und den zum Nullpunkt gehörigen lokalen Ring mit maximalem Ideal . Beschreibe explizit eine -Basis für die Restklassenringe und bestimme die Dimensionen davon.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein Körper und der Potenzreihenring. Man gebe die inverse Potenzreihe zu an.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein Körper, das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der Lokalisierung . Definiere einen -Algebrahomomorphismus

mit , wobei den Ring der formalen Potenzreihen bezeichnet.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne die ersten fünf Glieder (bis einschließlich ) der eingesetzten Potenzreihe im Sinne von Definition 24.9.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für ein irreduzibles reelles Polynom derart, dass beide partiellen Ableitungen übereinstimmen und nicht konstant sind. Zeige, dass dies über nicht möglich ist.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Betrachte die Kurve mit der in Beispiel 24.3 besprochenen Parametrisierung. Bestimme die singulären Punkte der Kurve zusammen mit den Multiplizitäten und Tangenten. Berechne ebenfalls die Bildpunkte und die Tangenten für die Parameterwerte .


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beschreibe eine formale Potenzreihe über , die in keiner Umgebung des Nullpunktes konvergiert.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei ein Körper. Vergleiche die beiden Ringe und .


Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei ein noetherscher kommutativer Ring. Man zeige, dass noethersch ist.

Hinweis: Lassen Sie sich vom Beweis des Hilbertschen Basissatzes inspirieren!



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